Учебник. Скалярное произведение векторов

Рассмотрим два произвольных вектора: $\overrightarrow{a}\left(a_1\mathrm{; }{a}_2\mathrm{; }{a}_3\right)$ и $\overrightarrow{b}\left(b_1\mathrm{; }{b}_2\mathrm{; }{b}_3\right)\mathrm{.}$

Совершенно аналогично, как в планиметрии, доказываются следующие утверждения:

• Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

• Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.

• Скалярное произведение двух векторов $\overrightarrow{a}\left(a_1\mathrm{; }{a}_2\mathrm{; }{a}_3\right)$ и $\overrightarrow{b}\left(b_1\mathrm{; }{b}_2\mathrm{; }{b}_3\right)\mathrm{,}$ заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле $\mathrm{(}\overrightarrow{a}\mathrm{, }\overrightarrow{b}\mathrm{)}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3\mathrm{.}$

Перечислим основные свойства скалярного произведения, которые также доказываются аналогично планиметрическим.

Для любых векторов $\overrightarrow{a}$   $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ и любого числа λ справедливы равенства:

1. ${\overrightarrow{a}}^2=\left(\overrightarrow{a}\mathrm{, }\overrightarrow{a}\right)\ge \mathrm{0,}$ причем ${\overrightarrow{a}}^2=0\iff \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\mathrm{.}$

2. $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}$ (переместительный закон).

3. $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\mathrm{, }\overrightarrow{c}\right)=\left(\overrightarrow{a}\mathrm{, }\overrightarrow{c}\right)+\left(\overrightarrow{b}\mathrm{, }\overrightarrow{c}\right)$ (распределительный закон).

4. $\lambda \left(\overrightarrow{a}\mathrm{, }\overrightarrow{b}\right)=\left(\lambda \overrightarrow{a}\mathrm{, }\overrightarrow{b}\right)$ (сочетательный закон).