Учебник. Расстояние между точками

Рассмотрим точки A₁ (x₁; y₁; z₁) и A₂ (x₂; y₂; z₂) и найдём расстояние между этими точками. Пусть вначале прямая A₁A₂ не параллельна оси z (чертёж 9.4.1).

Расстояние между точками

Проведём через точки $A_1$ и $A_2$ прямые, параллельные оси z. Пусть эти прямые пересекут плоскость xy в точках ${A^{\mathrm{\prime }}}_1$ и ${A^{\mathrm{\prime }}}_2$ Заметим, что поскольку эти точки лежат в плоскости xy, то координата z у них равна нулю. Проведём плоскость через точку $A_2$ параллельную плоскости xy. Пусть эта плоскость пересекает прямую $A_1$ в точке C. Применим теорему Пифагора к треугольнику $C$   $A_1$ Очевидно, что отрезки $C{A}_2$ и ${A^{\mathrm{\prime }}}_1{A^{\mathrm{\prime }}}_2$ равны, а согласно теореме Пифагора на плоскости xy, получаем, что ${\left({A^{\mathrm{\prime }}}_1{A^{\mathrm{\prime }}}_2\right)}^2$ Поскольку длина отрезка $A_1$ равна $\left|z_2-z_1\right|\mathrm{,}$ то окончательно имеем $A_1{A}_2^2={\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2+{\left(z_2-z_1\right)}^2\mathrm{.}$

Если же окажется, что отрезок $A_1$ параллелен оси z, то $A_1{A}_2=\left|z_2-z_1\right|\mathrm{.}$ Но тот же результат дает полученная формула, так как в этом случае $x_1$  $y_1$

Итак, доказана следующая

Расстояние между точками

Рассмотрим некоторую точку M в пространстве с координатами (x; y; z). Пусть M₁, M₂, M₃ – точки пересечения с осями координат плоскостей, проходящих через точку M перпендикулярно к этим осям (чертеж 9.4.2). Тогда

По определению координаты точки M $O{M}_1=x\mathrm{.}$ Значит, $\stackrel{⟶}{O{M}_1}=x\stackrel{⟶}{i}\mathrm{.}$ Совершенно аналогично $\stackrel{⟶}{O{M}_2}=y\overrightarrow{j}\mathrm{,}$  $\stackrel{⟶}{O{M}_1}=z\overrightarrow{k}\mathrm{.}$ Получается, что $\stackrel{⟶}{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\mathrm{.}$ Тем самым доказана следующая

Рассмотрим теперь две точки $A_1\left(x_1\mathrm{; }{y}_1\mathrm{; }{z}_1\right)$ и $A_2\left(x_2\mathrm{; }{y}_2\mathrm{; }{z}_2\right)$ По только что доказанному, $\stackrel{⟶}{A_1{A}_2}=\left(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1\right)\mathrm{.}$ Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Но длина вектора $\stackrel{⟶}{A_1{A}_2}$ по определению равна длине отрезка $A_1{A}_2\mathrm{,}$ а длина этого отрезка есть расстояние между точками $A_1$ и $A_2$ Значит,

Эта формула позволяет вычислять длину вектора, зная его координаты.