Открытая Математика. Стереометрия. Декартовы координаты в пространстве

Декартовы координаты в пространстве

Рассмотрим три взаимно перпендикулярные прямые x, y, z, пересекающиеся в одной точке O (чертёж 9.3.1).

Декартовы координаты в пространстве

Проведем через каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость, проходящая через прямые x и y, называется плоскостью xy. Две другие плоскости называются, соответственно, плоскостями xz и yz.

Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат), точка их пересечения O – началом координат, а плоскости xy, xz и yz – координатными плоскостями. Точка O разбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной полуосями.

Рассмотрим теперь произвольную точку A и проведем через нее плоскость, параллельную плоскости yz (чертёж 9.3.2).

Координаты точки

Пусть эта плоскость пересекает ось x в некоторой точке A_x.

Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка OA_x: положительное, если точка A лежит на положительной полуоси x, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси.

Если же точка A_x совпадет точкой O, то полагаем по определению, что x = 0. Аналогично можно определить координаты y и z точки A. Координаты точки A записываются в скобках рядом с названием этой точки: A (x; y; z).

Зададим теперь в пространстве прямоугольную систему координат.

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси. Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается $\vec{i};$ единичный вектор, направленный вдоль оси y – $\vec{j};$ вдоль оси z – $\vec{k} .$ Вектора $\vec{i},$ $\vec{j},$ $\vec{k}$ называются координатными векторами.

По своему построению эти векторы некомпланарны, а значит, любой вектор $\vec{a}$ можно разложить по координатным векторам:

\overset{⟶}{a} = x \overset{⟶}{i} + y \overset{⟶}{j} + z \overset{⟶}{k} .

Кроме того, отметим, что по уже доказанному коэффициенты разложения определяются единственным образом. Эти коэффициенты и называются координатами вектора $\vec{a}$ в данной системе координат.

Следующие утверждения доказываются аналогично их планиметрическим аналогам.

Координаты нулевого вектора равны нулю.
Координаты равных векторов соответственно равны.
Пусть $\vec{a} (a_{1}; a_{2}; a_{3}),$ $\vec{b} (b_{1}; b_{2}; b_{3}),$
тогда
$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a_{1} = b_{1}; \\ a_{2} = b_{2}; \\ a_{3} = b_{3} . \end{matrix}$
Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.
Пусть $\vec{a} (a_{1}; a_{2}; a_{3}),$ $\vec{b} (b_{1}; b_{2}; b_{3}),$ тогда
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{c} (a_{1} + b_{1}; a_{2} + b_{2}; a_{3} + b_{3}) .$
Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов.
Пусть $\vec{a} (a_{1}; a_{2}; a_{3}),$ $\vec{b} (b_{1}; b_{2}; b_{3}),$ тогда
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{c} (a_{1} - b_{1}; a_{2} - b_{2}; a_{3} - b_{3}) .$
Координаты вектора произведения данного вектора на число равны произведениям соответствующих координат этого вектора на данное число.
Пусть $\vec{a} (a_{1}; a_{2}; a_{3}),$ $λ \in R,$ тогда
$λ \vec{a} = \vec{c} (λ a_{1}; λ a_{2}; λ a_{3}) .$

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Декартовы координаты в пространстве

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ