Учебник. Компланарные векторы

Отложим от произвольной точки векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ Спроектируем конец вектора $\stackrel{⟶}{c}$ на прямые, задаваемые векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ в направлении, параллельном другому вектору (рис. 9.2.2). Обозначим вектора с началами в точке O и с концами в полученных точках соответственно $\stackrel{⟶}{c_1}$ и $\stackrel{⟶}{c_2}\mathrm{.}$ Так как эти вектора лежат на тех же прямых, что и $\overrightarrow{a}$, и $\overrightarrow{b}$ то по теореме 9.3 существуют такие числа α и β, что ${\overrightarrow{c}}_1=\alpha \overrightarrow{a}\mathrm{,}$   ${\overrightarrow{c}}_2=\beta \overrightarrow{b}\mathrm{.}$ При этом по правилу параллелограмма $\overrightarrow{c}={\overrightarrow{c}}_1+{\overrightarrow{c}}_2\mathrm{.}$ Значит, $\overrightarrow{c}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}\mathrm{.}$

Докажем теперь, что такая пара чисел единственна. Предположим, что нашлось два разложения вектора $\stackrel{⟶}{c}$ по векторам $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ то есть нашлись две пары чисел ${\alpha }_1$   ${\beta }_1$ и ${\alpha }_2$   ${\beta }_2$ таких, что ${\alpha }_1\ne {\alpha }_2$  ${\beta }_1\ne {\beta }_2$ и справедливы разложения: $\overrightarrow{c}={\alpha }_1\overrightarrow{a}+{\beta }_1\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}={\alpha }_2\overrightarrow{a}+{\beta }_2\overrightarrow{b}\mathrm{.}$ Вычитая из первого равенства второе, получаем $\overrightarrow{0}=\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)\overrightarrow{a}+\left({\beta }_1-{\beta }_2\right)\overrightarrow{b}\mathrm{.}$ Отсюда, ввиду того что ${\alpha }_1\ne {\alpha }_2\mathrm{,}$ следует, что $\overrightarrow{a}=\mathrm{-}\frac{\left({\beta }_1-{\beta }_2\right)}{\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)}\overrightarrow{b}\mathrm{,}$ то есть $\overrightarrow{a}\mathrm{\uparrow }\mathrm{\uparrow }\overrightarrow{b}\mathrm{,}$ что по условию не так. Полученное противоречие означает, что неравенство ${\alpha }_1\ne {\alpha }_2$ невозможно, а значит ${\alpha }_1={\alpha }_2\mathrm{.}$ Аналогично доказывается, что ${\beta }_1={\beta }_2\mathrm{.}$ Теорема доказана.

Действительно, из того, что $x\ne \mathrm{0,}$ следует, что $\overrightarrow{a}=\mathrm{-}\frac{y}{x}\overrightarrow{b}-\frac{z}{x}\overrightarrow{c}\mathrm{.}$ Значит, вектор $\stackrel{⟶}{a}$ лежит в одной плоскости с векторами $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ что неверно. Поэтому x = 0. По той же причине y = 0 и z = 0.