Учебник. Векторы в пространстве

На рисунках направление вектора обозначается стрелкой от начала к концу. Если длина рассматриваемого отрезка равна нулю, то есть отрезок вырождается в точку, то эта точка тоже может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым и имеет произвольное направление.

На рисунке 9.1.1 изображены ненулевые векторы $\stackrel{⟶}{AB}$ и $\stackrel{⟶}{CD}$ и нулевой вектор $\stackrel{⟶}{TT}$ Нулевой вектор иногда обозначается символом $\stackrel{⟶}{0}\mathrm{.}$

Поскольку нулевой вектор может иметь произвольное направление, то разумно считать его коллинеарным любому ненулевому вектору.

На рисунке 9.1.2 $\stackrel{⟶}{A{A}_1}$   $\stackrel{⟶}{A_1{B}_1}$   $\stackrel{⟶}{C_1{A}_1}$   $\stackrel{⟶}{AD}$

На рисунке 9.1.2 $\stackrel{⟶}{A{A}_1}=\stackrel{⟶}{C{C}_1}\mathrm{,}$ так как $\stackrel{⟶}{A{A}_1}\mathrm{\uparrow }\mathrm{\uparrow }\stackrel{⟶}{C{C}_1}$ и $\left|\stackrel{⟶}{A{A}_1}\right|=\left|\stackrel{⟶}{C{C}_1}\right|\mathrm{,}$ а $\stackrel{⟶}{AD}\ne \stackrel{⟶}{CB}\mathrm{,}$ так как $\stackrel{⟶}{AD}\mathrm{\uparrow }\mathrm{\downarrow }\stackrel{⟶}{CB}\mathrm{.}$

Нетрудно доказать следующее.

Сделайте это самостоятельно.

Два вектора называются противоположными, если их длины равны, и они противоположно направлены (рис. 9.1.3).

$\stackrel{⟶}{AB}$ и $\stackrel{⟶}{BA}$ – противоположные векторы.

Суммой двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется новый вектор $\overrightarrow{c}$ который обозначается $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ и получается следующим образом.

Отложим от произвольной точки A вектор $\stackrel{⟶}{AB}$, равный $\overrightarrow{a}\mathrm{.}$ Теперь от точки B отложим вектор $\stackrel{⟶}{BC}\mathrm{,}$ равный $\overrightarrow{b}\mathrm{.}$ Вектор $\stackrel{⟶}{BC}$ и называется суммой векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Для сложения двух неколлинеарных векторов можно воспользоваться правилом параллелограмма, известным из курса планиметрии (рис. 9.1.5).

Для любых векторов $\overrightarrow{a}\mathrm{,}$ $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ справедливы равенства:

• $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ (переместительный закон);
• $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$ (сочетательный закон).

Разностью векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется такой вектор $\overrightarrow{c}\mathrm{,}$ сумма которого с вектором $\overrightarrow{b}$ равна вектору $\overrightarrow{a}\mathrm{.}$

Обозначается разность векторов так:

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\left(\mathrm{-}\overrightarrow{b}\right)\mathrm{,}$

где $\left(\mathrm{-}\overrightarrow{b}\right)$ – вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{b}$ (рис. 9.1.6).

Доказательство этого утверждения следует из закона сложения векторов.

Из этого определения следует, что векторы $\overrightarrow{a}$ и $k\overrightarrow{a}$ коллинеарны. Кроме того, произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор.

Для любых векторов $\overrightarrow{a}$  $\overrightarrow{b}$ и любых чисел k и l справедливы равенства:

• $\left(kl\right)\overrightarrow{a}=k\left(l\overrightarrow{a}\right)$ (сочетательный закон);
• $k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$ (первый распределительный закон);
• $\left(k+l\right)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}$ (второй распределительный закон).

Эта теорема доказывается аналогично, как в планиметрии.