Учебник. Тетраэдр, гексаэдр, октаэдр

Предъявим теперь многогранники каждого вида, доказывая тем самым их существование.

Тетраэдр (tetra – четыре, hedra – грань). Правильный тетраэдр – правильный четырехгранник, то есть тетраэдр с равными ребрами, представляет собой правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и из каждой вершины которого выходит ровно три ребра. Очевидно, что тетраэдр с заданной длиной ребра единственен. Все остальные тетраэдры подобны ему и определяются длиной ребра, что следует из теоремы 8.1.

Гексаэдр (куб, hexa – шесть). Гексаэдр – правильный многогранник, все грани которого – квадраты, и из каждой вершины выходит три ребра.

Октаэдр (okto – восемь). Это правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и к каждой вершине прилегают четыре грани. Покажем, что этот многогранник имеет восемь граней, указав способ его построения.

Рассмотрим квадрат ABCD и построим на нем, как на основании, по обе стороны от его плоскости четырехугольные пирамиды, боковые ребра которых равны сторонам квадрата. Полученный многогранник и будет октаэдром (рис. 8.2.1).

Чтобы это доказать, нам остается проверить, что у него равны все двугранные углы. Действительно, пусть O – центр квадрата ABCD. Соединив точку O со всеми вершинами нашего многогранника, мы получим восемь треугольных пирамид с общей вершиной O. Рассмотрим одну из них, например ABEO. AO = BO = EO и, кроме того, эти ребра попарно перпендикулярны. Пирамида ABEO правильная, так как ее основание – правильный треугольник ABE. Значит, все двугранные углы при основании равны. Аналогично, все восемь пирамид с вершиной в точке O и основаниями – гранями восьмигранника ABCDEG – являются правильными и более того, равны между собой. Значит, все двугранные углы этого восьмигранника равны, так как каждый из них в два раза больше двугранного угла при основании каждой из пирамид.

Отметим интересный факт, связанный с гексаэдром (кубом) и октаэдром. Куб имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, а октаэдр – 8 граней, 12 ребер и 6 вершин. То есть число граней одного многогранника равно числу вершин другого и наоборот. Как говорят, куб и гексаэдр являются двойственными друг к другу. Это также проявляется в том, что если взять куб и построить многогранник с вершинами в центрах его граней, то, как несложно убедиться, получится октаэдр. Верно и обратное – центры граней октаэдра служат вершинами куба. В этом-то и состоит двойственность октаэдра и куба (рис. 8.2.2).

Несложно сообразить, что если взять центры граней правильного тетраэдра, то мы вновь получим правильный тетраэдр (рис. 8.2.3). Таким образом, тетраэдр двойственен самому себе.