Учебник. Поверхность Шварца

В предыдущих параграфах мы определяли площади частей шара с помощью предельного перехода. Однако такой подход к определению площадей поверхностей в трехмерном пространстве еще не может гарантировать того, что формулы, полученные предельным переходом, дают правильное значение величин этих площадей.

Попытаемся разобраться, чем же многогранные поверхности, построенные в предыдущих примерах, отличаются от исследуемых поверхностей, являющихся частями сферы. Для этого попробуем определить площадь поверхности как предел площади многогранной поверхности и посмотрим, в чем состоит недостаток такого определения.

В одномерном случае длину кривой можно определить так. Отметим на этой кривой несколько точек, которые соединим последовательно. Полученную ломаную можно назвать вписанной в данную кривую. Теперь будем увеличивать число звеньев этой ломаной так, чтобы длина наибольшего звена уменьшалась. Тогда можно определить длину кривой как тот предел, к которому стремится длина ломаной. Поступим аналогично, вписывая в данную поверхность многогранную поверхность и увеличивая число ее граней. Покажем, что площадь многогранной поверхности совсем не обязательно будет стремиться к площади рассматриваемой поверхности. Тем самым станет ясно, что площадь поверхности определяется далеко не так просто, поскольку уже для простейшего тела – цилиндра – мы сейчас получим странный и заведомо неправильный результат.

Итак, рассмотрим цилиндр радиуса R с высотой, равной 1 (рис. 7.6.1, а), в нижнее основание которого впишем правильный n-угольник. Разделим высоту на m равных частей и через точки деления проведем сечения, параллельные основаниям. Пронумеруем эти сечения, начиная с нижнего основания. Теперь в каждое сечение с четным номером впишем точно такой же правильный n-угольник, а в сечения с нечетными номерами впишем этот же n-угольник, повернутый на угол $\frac{{180}^{ˆ}}{n}\mathrm{.}$ Затем вершины каждого многоугольника соединим с ближайшими вершинами соседних многоугольников. В результате получим многогранную поверхность, вписанную в цилиндр, боковая часть которой состоит из треугольников, а верхнее и нижнее основание которой – правильные n-угольники. Один слой этой поверхности изображен на рис. 7.6.1, б, который состоит из 2n равнобедренных треугольников, основаниями которых являются стороны двух правильных n-угольников, вписанных в основание цилиндра с высотой $\frac{1}{m}\mathrm{.}$ Фиксируем теперь число n. Определим высоту каждого треугольника, проведенную к основанию. Для этого рассмотрим произвольный треугольник ABC с основанием BC (рис. 7.6.1, б), которое равно стороне правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R. Проекцией точки A на плоскость, содержащую сторону BC, будет точка A₁, являющаяся серединой дуги BC (рис. 7.6.1, в). Понятно, что высота к стороне BC в треугольнике ABC не меньше расстояния от A₁ до DC, поскольку проекция наклонной всегда меньше самой наклонной. Пусть это расстояние равно d. Выберем любое число k > 1 и возьмем число m так, чтобы выполнялось равенство $\frac{k}{m}<d\mathrm{.}$ Получается, что высота в каждом треугольнике больше $\frac{k}{m}\mathrm{.}$ Пусть теперь $P_n$ – периметр правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R. Тогда сумма площадей треугольников одного слоя больше $P_n\frac{k}{m}\mathrm{.}$ Значит, площадь части рассматриваемой поверхности, вписанной в боковую поверхность цилиндра, будет больше, чем $mċP_n\frac{k}{m}=P_nċk\mathrm{.}$ Однако с ростом n величина $P_n$ приближается к длине окружности 2πR. Следовательно, площадь многогранной поверхности, вписанной в боковую поверхность цилиндра, с ростом n, начиная с некоторого момента, станет больше, чем k (2πR), где k – любое число, большее 1. Однако, нам известно, что площадь боковой поверхности цилиндра радиуса R и высотой 1 равна 2πR. Полученное противоречие показывает, что таким образом площадь боковой поверхности круглых тел определять нельзя. Отметим, что наше рассуждение осталось бы в силе, и если бы нам не было известно, чему равна площадь боковой поверхности цилиндра. Из него следует, что площадь боковой поверхности цилиндра сколь угодно велика.

Таким образом, мы убедились, что рассматриваемым способом площадь боковой поверхности круглых тел определить нельзя. Значит, понятие площади боковой поверхности не так просто, как это кажется на первый взгляд. В школьном курсе стереометрии не изучается строгое определение площади боковой поверхности, однако отметим, в чем же дело в рассмотренном примере. Дело в том, что плоскость каждого из треугольников, образующих многогранную поверхность, не приближается к плоскости, касающейся боковой поверхности цилиндра. При строгом же определении понятия площади поверхности круглых тел, таким образом, необходимо требовать кроме приближения многогранной вписанной поверхности к поверхности круглых тел, еще и приближения рассматриваемой поверхности к касательной плоскости данного круглого тела в каждой конкретной точке. В рассматриваемом же примере это было не так. Если мы в одной из вершин треугольника проведем плоскость, касательную к поверхности цилиндра, то угол между этой плоскостью и плоскостью самого треугольника окажется больше некоторой величины.