Открытая Математика. Стереометрия. Вычисление объемов тел вращения

Вычисление объемов тел вращения

Укажем общий способ вычисления объемов тел вращения. В частности, вычислим объем шара и его частей.

Пусть криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная осью Ox, прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной возрастающей неотрицательной функции y = f (x), вращается вокруг оси Ox (рис. 7.2.1), вследствие чего образуется тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, есть круг или точка. На промежутке (a; b) выберем точку x. Сечение, проведенное через эту точку перпендикулярно оси Ox, есть круг площадью S (x) = πf ² (x). Объем части тела вращения, ограниченной сечениями, проведенными через точки a и x, обозначим через V (x), а объем данного тела вращения – через V.

Объем тела вращения равен $V = \int_{a}^{b} S (x) d x = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .$

Придадим x приращение Δx > 0 (x + Δx < b). Построим два цилиндра с общей высотой Δx (рис. 7.2.2). Меньший цилиндр имеет своим основанием круг площадью S (x), а больший – круг площадью S (x + Δx). Если ΔV – прирост объема тела вращения, то S (x)Δx < ΔV < S (x + Δx)Δx, откуда $S (x) < \frac{Δ V}{Δ x} < S (x + Δ x) .$

Поскольку функция f (x) непрерывна, то непрерывна и функция $S (x) = π f^{2} (x),$ следовательно, $lim_{Δ x \to 0} S (x + Δ x) = S (x) .$

Переходя к пределу в двойном неравенстве, имеем $lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ V}{Δ x} = S (x),$ то есть V' (x) = S (x).

Объем V (x) является первообразной для функции S (x) на промежутке [a; b]. Отсюда имеем $V = V (b) - V (a) = \int_{a}^{b} S (x) d x = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .$

Объем шара равен $V = \frac{4}{3} π R^{3},$ где R – радиус шара.

На рис. 7.2.3 изображена четверть круга радиуса R с центром в точке (R; 0). Уравнение окружности этого круга ${(x - R)}^{2} + y^{2} = R^{2},$ откуда $y^{2} = 2 R x - x^{2} .$ Функция $y = \sqrt{2 R x - x^{2}},$ $x \in [0; R],$ непрерывная, возрастающая, неотрицательная, следовательно, для нахождения объема тела вращения можно использовать предыдущую теорему. Вследствие вращения четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар. Следовательно, $\frac{1}{2} V = π \int_{0}^{R} (2 R x - x^{2}) d x = π (R x^{2} - \frac{x^{3}}{3}) | \begin{array}{l} {}^{R} \\ {}_{0} \end{array} = \frac{2}{3} π R^{3},$ откуда $V = \frac{4}{3} π R^{3} .$

Заметим, что формула для объема шара следует из формулы для объема шарового сегмента при H = 2R.

В качестве тренировки докажите, что объем эллипсоида, задаваемого уравнением $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1,$ определяется формулой $V = \frac{4}{3} π a b c .$

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Вычисление объемов тел вращения

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ