Учебник. Объем цилиндра и конуса

Для доказательства впишем в данный цилиндр правильную n-угольную призму. С возрастанием n объем этой призмы будет стремиться к объему цилиндра. Объем призмы, как известно, находится по формуле $V=S_{\mathrm{осн}}h\mathrm{,}$ где $S_{\mathrm{осн}}$ – площадь основания призмы. С возрастанием n площадь основания призмы стремится к площади круга – основания цилиндра. Значит, выражая площадь основания цилиндра через его радиус, получаем, что $V_{\mathrm{ц}}$ Вторая формула получается аналогично, если в данный конус вписывать правильные n-угольные пирамиды и устремлять n к бесконечности.

Объем усеченного конуса может быть найден как разность объемов конусов с радиусами оснований R и r, общей вершиной и осью. Пусть высоты конусов равны $H_1$ и $H_2$ соответственно, причем $H_1-H_2=H$ – высота усеченного конуса. Вывод этой формулы получается из следующей цепочки равенств с учетом того, что из подобия следует $\frac{H_1}{H_2}=\frac{R}{r}\mathrm{.}$ $H_1=H+H_2=H_2\frac{R}{r}\Rightarrow H_2\left(\frac{R}{r}-1\right)=H\Rightarrow H_2=H\frac{r}{R-r}\Rightarrow$ $H{}_1=H+H\frac{r}{R-r}=H\left(1+\frac{r}{R-r}\right)=H\frac{R}{R-r}\mathrm{,}$ $V=\frac{1}{3}\pi R^2{H}_1-\frac{1}{3}\pi r^2{H}_2=\frac{1}{3}\pi \left(R^2ċH\frac{R}{R-r}-r^2ċH\frac{r}{R-r}\right)=\frac{1}{3}\pi H\left(\frac{R^3-r^3}{R-r}\right)=\frac{1}{3}\pi H\left(R^2+Rr+r^2\right)$