Открытая Математика. Стереометрия. Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка

К невырожденным поверхностям второго порядка относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, однополостной гиперболоид и двуполостной гиперболоид. Строгое изучение этих поверхностей проводится в курсе аналитической геометрии. Здесь же мы ограничимся определениями и иллюстрациями.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1;$ a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.

Свойства эллипсоида.

Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что $| x | \leq a,$ $| y | \leq b,$ $| z | \leq c .$
Эллипсоид обладает
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно начала координат.
В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 2 z;$ a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом.

Свойства эллиптического параболоида.

Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.
Эллиптический параболоид обладает
- осевой симметрией относительно оси Oz,
- плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.
В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 2 z;$ a > 0, b > 0, называется гиперболическим параболоидом.

Свойства гиперболического параболоида.

Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
Гиперболический параболоид обладает
- осевой симметрией относительно оси Oz,
- плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.
В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy, – парабола.
Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1;$ a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом.

Свойства однополостного гиперболоида.

Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
Однополостной гиперболоид обладает
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением $\frac{z^{2}}{c^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1;$ a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

Свойства двуполостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что $| z | \geq c$ и неограничен сверху.
Двуполостный гиперболоид обладает
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при $| z | > c$ получается эллипс, при $| z | = c$ – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола.

По аналогии с коническими сечениями существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка x² = 0 описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением x² = 1 – пара параллельных плоскостей, уравнением x² – y² = 0 – пара пересекающихся плоскостей. Уравнение x² + y² + z² = 0 описывает точку с координатами (0; 0; 0), уравнение x² + y² = 1 – круговой цилиндр, уравнение x² + y² = z² – круговой конус. Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии.

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Поверхности второго порядка

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ