Учебник. Сечения многогранников

Приведём несколько характерных примеров решения задач на комбинацию многогранников.

Решение. Кроме пирамиды D₁MNP куб содержит еще четыре пирамиды: PMBN, D₁PNCC₁B₁, D₁AMPB₁A₁, D₁AMNCD с объемами соответственно V₁, V₂, V₃, V₄. Пирамиды с объемами V₂, V₃, V₄ равновеликие. Пусть V – искомый объём, а V_k – объём куба, тогда V = V_k – 3V₂ – V₁. Заметим, что $V_k=a^3\mathrm{, }{V}_1=\frac{1}{3}PBċ\frac{1}{2}BMċBN=\frac{1}{48}{a}^3\mathrm{, }{V}_2=\frac{1}{3}a\left(a^2-S_{BMN}\right)=\frac{7}{24}{a}^3\mathrm{.}$ Окончательно имеем $V\mathrm{.}$ Ответ. $\frac{5a^3}{48}\mathrm{.}$

Решение. Находим площади оснований: $S_{ABC}\mathrm{.}$ Пусть S_б – площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, тогда S_б = 3S, где S – площадь трапеции ABB₂A₂. Из Δ POD имеем $P\mathrm{,}$ тогда $D\mathrm{.}$ Следовательно, $S_b\mathrm{.}$ Ответ. $\frac{a\sqrt{3}}{16}\mathrm{.}$

Решение. Осевое сечение данной комбинации – это квадрат MNLT, вписанный в равнобедренный треугольник PAB; ∠PAB = γ, PO = h – высота конуса; O₁ = PO∩TL; ∠PLT = ∠PBA = γ. Пусть TM = x, тогда $O_1\mathrm{.}$  Из Δ PO₁L имеем PO₁ = O₁L tg γ, или $h\mathrm{,}$  откуда $x\mathrm{.}$  Далее находим $V\mathrm{;}$ $S_{п}\mathrm{.}$ Ответ. $\frac{2\pi h^3}{{\left(2+tg\gamma \right)}^3}\mathrm{,}$  $\frac{6\pi h^2}{{\left(2+tg\gamma \right)}^2}\mathrm{.}$

Решение. Осевое сечение данной в условии комбинации шара и цилиндра – прямоугольник ABCD, вписанный в окружность $\omega \left(O\mathrm{, }R\right)\mathrm{.}$  Пусть ∠CAB = α, тогда из Δ AOK имеем OK = R sin α, AK = R cos α. По условию $t\mathrm{,}$ то есть $t$  при $\alpha \mathrm{,}$  следовательно, t может принимать как угодно малые положительные значения. Для определения максимального значения t найдем производную $t^{\mathrm{ \prime }}$  и приравняем ее к нулю: $t^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$ откуда $t^{\mathrm{ \prime }}$  при tg 2α = 2 или при $\alpha =\frac{1}{2}arctg2\mathrm{.}$  Следовательно, $max\mathrm{.}$  Принимая во внимание, что $cos\mathrm{;}$ $sin\mathrm{,}$ получаем: $max\mathrm{.}$ Ответ. $0\mathrm{.}$

Решение. Осевое сечение данной комбинации шара и конуса – это равнобедренный треугольник PAB, описанный вокруг окружности $\omega \mathrm{,}$  PC = h – высота конуса, OD⊥PB. Объем конуса $V\mathrm{.}$  Заметим, что $\mathrm{\Delta }\mathrm{,}$  поэтому $\frac{BC}{PC}\mathrm{,}$ или $\frac{BC}{h}\mathrm{,}$ откуда $B\mathrm{.}$  Следовательно, имеем: $V\mathrm{.}$

Ответ. $\frac{\pi r^2{h}^2}{3\left(h-2r\right)}\mathrm{.}$

Решение. Осевое сечение шара и усеченного конуса – это равнобедренная трапеция, описанная вокруг окружности $\omega \mathrm{.}$  Пусть радиусы оснований усеченного конуса равны r₁ и r₂, тогда объем шара $V_1\mathrm{,}$  объем усеченного конуса $V_2\mathrm{,}$  $\frac{V_1}{V_2}\mathrm{;}$  площадь поверхности шара $S_1\mathrm{,}$  площадь полной поверхности усеченного конуса $S_2\mathrm{.}$   Поскольку $B\mathrm{,}$  то $S_2\mathrm{,}$ что и требовалось доказать.