Учебник. Пирамида
Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, – многоугольник, а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.
Грани, отличные от основания, называются боковыми. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.
Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. В зависимости от числа сторон основания пирамида называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т. д.
Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.
Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и диагональ основания, называется диагональным сечением.
Если все боковые ребра пирамиды равны, то ее высота проходит через центр круга, описанного вокруг основания.
Пусть PO – высота пирамиды (чертеж 4.7.1). Поскольку все боковые ребра равны, то равны их проекции на плоскость основания, то есть OA = OB = OC = .... Итак, O – центр круга, описанного вокруг основания.
Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, а высота проходит внутри пирамиды, то высота проходит через центр вписанного в основание пирамиды круга.
Пусть PO – высота пирамиды (чертеж 4.7.2). Проведем перпендикуляры из точки O на стороны основания. Пусть ON и OM – два таких перпендикуляра; PMO и PNO – линейные углы двугранных углов при ребрах AC и BC основания пирамиды. По условию, ∠PMO = ∠PNO, следовательно ΔPMO = ΔPNO и OM = ON. Аналогично докажем, что точка O одинаково удалена от всех сторон основания. Следовательно, она является центром вписанного в основание круга.
Если все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом φ, то
Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой грани, проведенная из вершины пирамиды.
Для правильной пирамиды справедливы формулы:
- где a – апофема боковой грани, P – периметр основания.
- где n – число сторон основания, b – боковое ребро, α – плоский угол при вершине пирамиды.
Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, (чертеж 4.7.3), то:
боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки в отношении
площади сечения и основания пирамиды относятся как квадраты их расстояний до вершины пирамиды:
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".