Открытая Математика. Стереометрия. Трехгранный угол

Трехгранный угол

Трехгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости (чертеж 4.4.1). Общая вершина О этих углов называется вершиной трехгранного угла. Стороны углов называются ребрами, плоские углы при вершине трехгранного угла называются его гранями. Грани трехгранного угла образуют двугранные углы.

Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

На одном из лучей трехгранного угла выберем произвольную точку A, а на другом – произвольную точку B (чертеж 4.4.2). Можно считать, что плоский угол AOB наибольший из трех его плоских углов. Пусть ∠AOB = α. Два других плоских угла имеют величины β и γ. На отрезке AB возьмем точку D такую, что ∠AOD = β. На третьем луче трехгранного угла отложим отрезок OC = OD, причем ∠AOC = β, ∠BOC = γ, Δ AOC = Δ AOD. Отсюда AC = AD. По свойству треугольника AC + BC > AB или AC + BC > AD + BD, откуда BC > BD, так как AC = AD. Треугольники OBC и OBD имеют по две равных стороны. Поэтому против большей третьей стороны лежит наибольший угол, то есть ∠BOC >∠BOD. Отсюда следует, что ∠BOC + ∠AOC >∠BOD + ∠AOD. Или γ + β > α, что и требовалось доказать.

α + γ + β < 360°. Другими словами, сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

На чертеже 4.4.3 показан трехгранный угол OABC. Луч $O A_{1}$ дополнительный относительно луча OA. Рассмотрим трехгранный угол $O A_{1} B C .$ Если ∠BOC = α, ∠AOC = β, ∠AOB = γ, то ∠A₁OB = 180° – γ, ∠A₁OC = 180° – β. Согласно теореме 4.2, ∠BOC <∠A₁OB + ∠A₁OC, или α < 180° – γ + 180° – β, откуда α + γ + β < 360°.

cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos A, где α, β, γ – плоские углы, A – двугранный угол, составленный плоскостями углов β и γ.

SM = a, $S N = \frac{a}{cos γ}, S P = \frac{a}{cos β},$ $M N = a tg γ, M P = a tg β .$ Применим теорему косинусов к Δ SPN и MPN. $P N^{2} = \frac{a^{2}}{{cos}^{2} β} + \frac{a^{2}}{{cos}^{2} γ} - 2 \frac{a^{2}}{cos β cos γ} ċ cos α,$ $P N^{2} = a^{2} {tg}^{2} β + a^{2} {tg}^{2} γ - 2 a^{2} tg γ tg β ċ cos A .$ Приравнивая полученые выражения, получим $\frac{1}{{cos}^{2} β} + \frac{1}{{cos}^{2} γ} - \frac{2 cos α}{cos β cos γ} = \frac{{sin}^{2} β}{{cos}^{2} β} + \frac{{sin}^{2} γ}{{cos}^{2} γ} - \frac{2 sin β sin γ cos A}{cos β cos γ},$ $2 + \frac{2 sin β sin γ}{cos β cos γ} cos A = \frac{2 cos α}{cos β cos γ} .$ Откуда $cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos A .$

Замечание. С помощью доказанной теоремы можно вычислить величину двугранного угла, зная плоские углы трехгранного угла: $cos A = \frac{cos α - cos β cos γ}{sin β sin γ} .$

Если грани плоских углов взаимно перпендикулярны, получаем формулу трех косинусов: cos α = cos β cos γ.

Справедливо равенство $\frac{sin α}{sin A} = \frac{sin β}{sin B} = \frac{sin γ}{sin C},$ где α, β, γ – плоские углы трехгранного угла; A, B, C – противолежащие им двугранные углы.

Пусть дан трехгранный угол с вершиной S и ребрами SA, SB и SC, двугранные углы при которых равны соответственно A, B и C. Возьмем какую-нибудь точку P на ребре SA. Пусть O – ее проекция на плоскость SBC. Пусть R – проекция точки O на ребро SC, а Q – проекция точки O на ребро SB (чертеж 4.4.5).

На рисунке изображен тот случай, когда точка O попала вовнутрь угла BSC. Однако отметим, что все наши рассуждения не изменятся, если эта точка попадет вне или на сторону угла BSC. Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что угол PRO равен C, а угол PQO равен B, поскольку каждый из них есть линейный угол двугранного угла при соответствующем ребре. Найдем длину отрезка PO двумя способами. С одной стороны, PO = PR sin C = SP sin β sin C. С другой стороны, имеем PO = PQ sin B = SP sin γ sin B. Приравниваем: $S P sin β sin C = S P sin γ sin B \Leftrightarrow sin β sin C = sin γ sin B,$ $\frac{sin β}{sin B} = \frac{sin γ}{sin C} .$ Второе равенство устанавливается аналогично. Теорема доказана.

Несколько плоских углов с общим началом O, из которых никакие два не лежат в одной плоскости, образуют многогранный угол (чертеж 4.4.5). Эти плоские углы при вершине многогранного угла называются гранями, а стороны этих углов – ребрами, точка O – вершиной многогранного угла. По числу граней многогранный угол называется трехгранным, четырехгранным и т.д. Если все грани многогранного угла находятся с одной стороны от каждой из плоскостей его граней, угол называется выпуклым. В данном курсе рассматриваются только выпуклые многогранные углы.

Каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы всех остальных его плоских углов.

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Трехгранный угол

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ