Учебник. Ортогональное проектирование

Заметим, что проекции фигуры на произвольные из параллельных плоскостей равны, так как могут быть совмещены параллельным переносом в направлении проектирования.

Теперь рассмотрим теорему для случая, когда проектируется треугольник.

Первый случай. Плоскость проекции проходит через сторону треугольника (чертеж 3.7.1), Пр_α(Δ ABC) = Δ ABO, CD – высота Δ ABC. По теореме о трех перпендикулярах OD ⊥ AB, то есть OD – высота Δ ABO. Плоскость CDO перпендикулярна прямой AB, поэтому ∠CDO – линейный угол двугранного угла AB. Пусть ∠CDO = φ, тогда OD = CD cos φ, $S_{\mathrm{\Delta }ABC}$ $S_{\mathrm{\Delta }ABO}$

что и требовалось доказать.

Если сторона AB не лежит в плоскости проекции, но параллельна ей, доказательство аналогично.

Второй случай. Ни одна сторона Δ ABC не параллельна плоскости проекции (чертеж 3.7.2). Проведем отрезок BD параллельно плоскости проекции. Тогда в каждом из треугольников ABD и BCD существует сторона BD, параллельная плоскости проекции. В соответствии с первым случаем получаем: S_Δ AB1D1 = S_Δ ABD cos φ, S_Δ B1C1D1 = S_Δ BCD cos φ.

Складывая или вычитая эти равенства в зависимости от того принадлежит точка D отрезку AC или лежит вне него, имеем S_Δ AB1C1 = S_Δ ABC cos φ,

что и требовалось доказать.

Третий случай. Плоскость Δ перпендикулярна плоскости проекции. Проекцией Δ в этом случае является отрезок, площадь которого равна нулю. Косинус угла между плоскостью проекции и плоскостью Δ равен так же нулю. Значит формула $S_{\mathrm{пр}}$ также формально верна.

Если проектируется многоугольник, то разбиваем его на треугольники и для каждого применяем доказанную теорему.