Учебник. Угол между наклонной и плоскостью

На чертеже 3.5.1 показана наклонная AB, OB = Пр_αAB, ∠ABO – угол между наклонной AB и плоскостью α. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними по определению равен 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен 90°. Если β – угол между прямой и плоскостью, то 0° < β < 90°. Проведем в плоскости α произвольную прямую b через точку B так, чтобы OC ⊥ b. Пусть ∠ABO = β, ∠OBC = γ, ∠ABC = φ. Рассматривая прямоугольные треугольники ABO, OBC, ACB, имеем $cos\beta =\frac{OB}{AB}\mathrm{, }cos\gamma =\frac{BC}{OB}\mathrm{, }cos\phi =\frac{BC}{AB}\mathrm{.}$

Заметим, что $\frac{BC}{AB}$ или cos φ = cos β cos γ.

Мы получили формулу трех косинусов. Обратите внимание на то, что плоскости углов β и γ взаимно перпендикулярны.

Замечание. Поскольку углы φ, β и γ острые, из формулы трех косинусов следует, что cos β > cos φ и 0° < β < φ.

Таким образом, углом β между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость является наименьший из углов, образованных наклонной с прямыми плоскости α.