Учебник. Параллельность двух плоскостей
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.
Доказательство проведем от противного. Пусть прямые a и b лежат в плоскости β, причем a || α и b || α (чертеж 2.3.1). Если плоскости α и β не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой c. Поскольку a || α, то по теореме о следе c || a. Аналогично получаем, что c || b, тогда a || b. Мы пришли к противоречию, поскольку a и b по условию пересекаются.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то она оставляет на этих плоскостях параллельные следы.
Пусть α и β параллельны, γ – третья плоскость, которая пересекает их, причем α ∩ γ = a, β ∩ γ = b. Таким образом, a и b – следы плоскости γ на плоскостях α и β. Прямые a и b лежат в одной плоскости γ и не имеют общих точек, так как общих точек не имеют плоскости α и β. Следовательно, a || b.
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны.
Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.
На чертеже 2.3.4 показаны углы BAC и B1A1C1, причем AB || A1B1 и AC || A1C1. По признаку параллельности плоскостей плоскость BAC параллельна плоскости B1A1C1.
Пусть соответствующие отрезки на сторонах угла равны: AB = A1B1 и AC = A1C1. Проведем прямые AA1, BB1, CC1. Четырехугольник ABB1A1 – параллелограмм, так как AB = A1B1 и AB || A1B1, следовательно, AA1 = BB1 и AA1 || BB1. Аналогично докажем, что AA1 = CC1. Отсюда следует, что BB1 = CC1 и BB1 || CC1, следовательно, CBB1C1 – параллелограмм и CB = C1B1. Теперь утверждаем, что Δ ABC = Δ A1B1C1, откуда ∠ BAC = ∠ B1A1C1.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".