Учебник. Параллелограмм

Пусть ABCD – данный четырёхугольник. По условию AO = OC, BO = OD. Так как углы (AOB) и (COD) равны как вертикальные, то по теореме 4.1 треугольник AOB равен треугольнику COD, и, следовательно, углы (OAB) и (OCD) равны. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых (AB) и (CD) и секущей (AC) и по теореме 3.2 прямые (AB) и (CD) параллельны. Аналогично из равенства треугольников AOD и COB следует равенство углов (OAD) и (OCB) и по теореме 3.2 – параллельность прямых (AD) и (BC). Из полученных результатов следует, что четырёхугольник ABCD параллелограмм. Теорема доказана.

Пусть ABCD – данный четырёхугольник и (AB) || (CD), AB = CD.

Проведём диагональ AC. Получившиеся треугольники ABC и ADC равны. Действительно, стороны AB и CD равны по условию, сторона AC – общая, углы ACD и BAC равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC. Из равенства треугольников следует равенство углов CAD и ACB. Данные углы являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC. По теореме 3.2 прямые BC и AD параллельны. Следовательно, четырёхугольник ABCD параллелограмм по определению. Теорема доказана.

Пусть ABCD – данный четырёхугольник, и AB = CD, BC = AD.

Проведём диагональ AC. Получившиеся треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам. Действительно, AB = CD, BC = AD по условию, а сторона AC – общая. Тогда ∠BCA = ∠CAD и ∠BAC = ∠ACD. Первые два угла являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC, а вторая пара – при прямых AB и CD и секущей AC. Из равенства внутренних накрест лежащих углов по теореме 3.2 следует параллельность соответствующих прямых, а именно: из равенства углов BCA и CAD следует параллельность прямых BC и AD, а из равенства углов BAC и ACD – параллельность прямых AB и CD. Тогда по определению четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

Пусть ABCD – данный четырёхугольник, и ∠ B = ∠ D, ∠ A = ∠ C. Проведём диагональ AC.

Сумма углов четырёхугольника равна сумме углов треугольника ABC и треугольника ACD. Так как сумма углов каждого треугольника – 180°, то ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. С учетом условия получаем, что ∠ A + ∠ D = 180° и ∠ C + ∠ D = 180°.

Углы A и D являются внутренними односторонними при прямых AB и CD и секущей AD, и, так как их сумма равна 180°, то по следствию 3.2 прямые AB и CD – параллельны. Аналогично углы C и D являются внутренними односторонними при прямых BC и AD и секущей CD, а сумма их равна 180°, и, следовательно, прямые BC и AD – параллельны. Таким образом, четырёхугольник ABCD – параллелограмм по определению, что и требовалось доказать.

Пусть ABCD – данный параллелограмм. По определению (AB) || (CD) и (AD) || (BC). Пусть O – середина диагонали BD и на луче, дополняющем луч OA, отложен отрезок OC₁, равный отрезку OA. По теореме 7.1 получившийся четырёхугольник ABC₁D – параллелограмм, и, следовательно, (BC₁) || (AD) и (AB) || (C₁D). С учетом условия – (BC) || (AD) и (AB) || (CD). В соответствии с теоремой 3.3  (BC) = (BC₁) и (DC) = (DC₁). Поэтому точки C и C₁ совпадают. Следовательно, совпадают параллелограммы ABCD и ABC₁D. Отсюда AO = OC и BO = OD. Теорема доказана.

Пусть ABCD – данный параллелограмм, т.е. (AB) || (CD) и (BC) || (AD) и O – точка пересечения диагоналей. Тогда AO = OC и BO = OD. Поскольку углы (AOB) и (COD) равны как вертикальные, то по теореме 4.1 треугольники AOB и COD равны, и, как следствие, AB = CD. Аналогично из равенства углов (AOD) и (COB) как вертикальных и равенства треугольников BOC и DOA следует равенство сторон AD и BC.

В силу доказанного в треугольниках BAD и DCB AB = DC, AD = BC и BD – общая сторона и по теореме 4.8  Δ BAD = Δ DCB. Тогда ∠BCD = ∠BAD. Аналогично из равенства треугольников ABC и CDA следует равенство углов (ABC) и (CDA). Теорема доказана.

Пусть ABCD – данный прямоугольник. Прямоугольные треугольники BAD и ABC равны по теореме 4.1, так как AD = BC, AB – общая сторона. ∠ BAD = ∠ ABC = 90°. Отсюда BD = AC. Теорема доказана.