Учебник. Окружности, описанные около треугольника и вписанные в него

Пусть ABC – треугольник, а a и b – серединные перпендикуляры к его сторонам AC и BC. Допустим, прямые a и b не пересекаются, то есть – параллельны. Прямая AC ⊥ a, BC ⊥ b и, следовательно, (BC) ⊥ a, так как a || b. Таким образом, (AC) ⊥ a и (BC) ⊥ a, и, значит, (AC) || (BC). Но это неверно. Прямые AC и BC пересекаются в точке C. Полученное противоречие доказывает теорему.

Пусть a и b – серединные перпендикуляры к сторонам AC и BC треугольника ABC, а точка O – точка их пересечения. Из свойств серединного перпендикуляра AO = OC = OB. Следовательно, точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB. Таким образом, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Кроме того, точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин треугольника. Отсюда, по определению, центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Теорема доказана.

Пусть луч c с началом в точке O является биссектрисой угла, образованного лучами a и b. Пусть C – произвольная точка биссектрисы. Опустим перпендикуляры к сторонам a и b угла из точки C, и пусть A и B соответственно основания этих перпендикуляров. Треугольники OBC и OAC равны. Действительно ∠BOC = ∠AOC, так как [OC) – биссектриса, углы при вершинах A и B прямые по построению, сторона OC общая. Следовательно, B = C.

Теперь пусть точка D одинаково удалена от сторон угла O, т. е. M = D. Прямоугольные треугольники ODM и ODN равны, так как у них общая гипотенуза OD и равные катеты DM и DN. Значит, Δ DOM = Δ DON, и точка D лежит на биссектрисе угла O.

Пусть окружность ω (O; P) вписана в угол (ab) с вершиной A. Пусть B и C – точки касания окружности прямыми b и a соответственно. Соединим точки B и C с центром O окружности. По свойству 6.1 (OB) ⊥ b и (OC) ⊥ a и OB = OC = R. Таким образом, точка O равноудалена от сторон угла на расстояние, равное радиусу окружности и по свойству 6.5 принадлежит биссектрисе и только ей. Пусть теперь AMN – данный треугольник, а O – центр вписанной в него окружности. По определению окружность одновременно вписана в каждый угол треугольника и по следствию 6.4 его центр лежит на биссектрисах его углов. Следовательно, точка O лежит на пересечении всех трёх биссектрис углов треугольника. Теорема доказана.

Пусть AB – некоторая хорда окружности ω (O; R), через конец A которой проведена касательная l к окружности.

Соединим точки A и B с центром O окружности и проведем в треугольнике AOB высоту OD на сторону AB. Треугольник AOB – равнобедренный, так как стороны AO и OB равны радиусу окружности. Поэтому высота, проведенная к основанию, является одновременно и медианой и биссектрисой. В частности, $\angle AOD=\frac{1}{2}AOB\mathrm{.}$ Кроме того, ∠AOD + ∠OAD = 90°. С другой стороны, (OA) ⊥ l по свойству касательной и, следовательно, ∠(l , (AD)) – ∠OAD = 90°. Сравнивая эти равенства, получаем

Теорема доказана.

Рассмотрим треугольники CAP и BCP. Угол CBP равен углу ACP. Действительно угол CBP – вписанный в окружность и его величина равна половине угловой величины угла CA. С другой стороны угол ACP образован хордой AC и касательной к окружности, проведенной через конец C хорды AC. По теореме 6.7 градусная мера угла ACP так же равна половине градусной меры дуги CA. Так как сумма углов любого треугольника – 180°, то углы BCP и CAP данных треугольников так же равны. Следовательно, по следствию 5.1 имеем

Из последнего равенства получаем $C{P}^2=BP\cdot AP\mathrm{,}$ что и доказывает утверждение.

Пусть точка A лежит в круге, [AC) и [AE) – стороны угла, а точки D и B – точки пересечения с окружностью лучей, дополнительных к [AC) и [AE) соответственно. Угол CAE является внешним углом треугольника ABC и, следовательно, его величина равна сумме величин несмежных с ним углов треугольника, т. е.

∠CAE = ∠BCA + ∠ABC. Но углы BCA и ABC – вписанные в окружность и равны половине величины дуги CmE и BnD, соответственно. Поэтому $\angle CAE=\frac{1}{2}\cup BnD+\frac{1}{2}\cup CmE\mathrm{.}$ Теорема доказана.

Пусть A – точка, лежащая вне круга, [AB) и [AD) – стороны угла с вершиной в точке A и луч AB пересекает окружность в точках B и E, а луч AD – в точках C и D. Соединим точки B и C отрезком. В полученном треугольнике ABC угол BCD – внешний и равен сумме углов BAD и ABC. Но $\angle ABC=\frac{1}{2}\cup EmC\mathrm{,}$ а $\angle BCD=\frac{1}{2}\cup BnD\mathrm{.}$ Отсюда имеем $\frac{1}{2}\cup BnD=\frac{1}{2}\cup EmC+\angle BAD\mathrm{.}$ Следовательно, $\angle BAD=\frac{1}{2}\cup BnD-\frac{1}{2}\cup EmC\mathrm{.}$ Теорема доказана.