Учебник. Окружность, угол
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре. Дугой окружности, соответствующей центральному углу, называется часть окружности, расположенная внутри
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. Угол называется вписанным в окружность, если вершина его лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на ту дугу окружности, которая не содержит вершину вписанного угла. Так же говорят, что вписанный угол опирается на хорду, соединяющую точки пересечения окружности со
Угол, вписанный в окружность, равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности. Треугольник AOB – равнобедренный, так как у него
Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD. В случае, представленном посередине
В случае, представленном справа на том же рисунке:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Углы, опирающиеся на диаметр, равны 90°.
Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке S , то AS ⋅ BS = CS ⋅ DS.
Углы ASD и BCS равны как вертикальные. Углы BAD и BCD равны по следствию 6.1. Так как сумма углов треугольника – 180°, то треугольники ASD и CSD имеют равные углы. Тогда из следствия 5.1 теоремы 5.4 имеем, в частности Откуда AS ⋅ BS = CS ⋅ DS. Что и требовалось доказать.
Пусть из точки P вне окружности проведены два луча, пересекающие окружность в точках A, B и C, D соответственно.
Рассмотрим треугольники PDA и PBC. Угол при вершине P – общий, угол PDA равен углу PBC по следствию 6.1, следовательно, углы треугольников PDA и PBC равны.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".