Учебник. Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника

Пусть угол α – между двумя сторонами AB и AC треугольника ABC равен 90°. Тогда треугольник ABC прямоугольный и по теореме Пифагора имеем

Но с другой стороны, так как cos 90° = 0

Теорема верна.

На рис. 5.2.1 показаны три возможных случая, связанных с величиной угла α между известными сторонами. В первых двух случаях угол α – острый, в третьем – тупой. Пусть ABC – данный треугольник. Докажем, что

Опустим из вершины B высоту BD на прямую (AC). Рассмотрим два возможных случая.

1. Пусть угол α – острый. Тогда, либо точка D лежит между точками A и C, либо точка C – между точками A и D. Поэтому справедливы следующие равенства:
   

   AB² = AD² + BD²;
   BC² = CD² + BD²;
   AD = AB cos α;
   CD = |AC – AD|.

   Из первых двух равенств, исключая BD², получим

   BC² = AB² + CD² – AD².

   Подставляя из последнего равенства выражение для CD, имеем:

   BC² = AB² + (|AC – AD|)² – AD² = AB² + AC² – 2AC ⋅ AD.

   С учётом третьего равенства окончательно получаем требуемое равенство:

   BC² = AB² + AC² – 2AB ⋅ AC cos α.

2. Пусть угол α – тупой. Тогда точка A лежит между точками D и C. Поэтому справедливы равенства:

   AB² = AD² + BD²;
   BC² = CD² + BD²;
   AD = AB cos (180° – α);
   CD = AC + AD.

   Имеем: BC² = AB² + CD² – AD². С учётом последнего равенства

   BC² = AB² + (AC + AD)² – AD² = AB² + AC² + 2AC ⋅ AD = AB² + AC² + 2AB ⋅ AC ⋅ cos (180° – α).

Так как угол α – тупой , то cos α = –cos (180° – α) и, с учётом этого, окончательно получаем

Теорема доказана.

Пусть ABC – треугольник со сторонами a, b, c и соответственно противолежащими им углами α, β, γ. Докажем, что $\frac{a}{sin\mathrm{\alpha }}=\frac{b}{sin\mathrm{\beta }}=\frac{c}{sin\mathrm{\gamma }}\mathrm{.}$

Опустим из вершины B высоту BD на прямую (AC).

1. Пусть все углы Δ ABC острые. Тогда BD = a sin γ из прямоугольного треугольника BCD. Аналогично из треугольника ABD BD = c sin α. Приравнивая правые части, получаем a sin γ = c sin α или $\frac{a}{sin\mathrm{\alpha }}=\frac{c}{sin\mathrm{\gamma }}\mathrm{.}$
   Аналогично, если опустить высоту CE из вершины C на прямую (AB), получим CE = b sin α из Δ ACE, CE = a sin β из Δ BCE. И, сравнивая эти равенства, имеем $\frac{a}{sin\mathrm{\alpha }}=\frac{b}{sin\mathrm{\beta }}\mathrm{.}$
   Окончательно из полученных равенств имеем

   $\frac{a}{sin\mathrm{\alpha }}=\frac{b}{sin\mathrm{\beta }}=\frac{c}{sin\mathrm{\gamma }}\mathrm{.}$

2. Пусть один из углов (например, γ) тупой. Тогда BD = a sin (180° – γ) = a sin γ из Δ BCD, BD = c sin α из Δ ABD. Отсюда a sin γ = c sin α или $\frac{a}{sin\mathrm{\alpha }}=\frac{c}{sin\mathrm{\gamma }}\mathrm{.}$
   Далее, опуская высоту CE из вершины C на прямую (AB) и рассуждая аналогично пункту 1, получим $\frac{a}{sin\mathrm{\alpha }}=\frac{b}{sin\mathrm{\beta }}$ и, окончательно, $\frac{a}{sin\mathrm{\alpha }}=\frac{b}{sin\mathrm{\beta }}=\frac{c}{sin\mathrm{\gamma }}\mathrm{.}$
   Теорема доказана.

Действительно из Δ ABC по теореме синусов имеем

Аналогично из Δ A₁B₁C₁ получим

Деля входящие во второе равенство выражения на соответствующие выражения из первого равенства и учитывая, что синусы равных углов равны получим искомое равенство.

Отложим от луча AB в одну полуплоскость углы BAC и BAD так, что $\mathrm{\angle }BAC={90}^{\mathrm{\circ }}-\mathrm{\beta }\mathrm{,}$  $\mathrm{\angle }BAD={90}^{\mathrm{\circ }}-\mathrm{\alpha }\mathrm{.}$ Точки B, C, D лежат на прямой a, которая перпендикулярна лучу AB. Так как $\mathrm{(}{90}^{\mathrm{\circ }}-\mathrm{\beta }\mathrm{)}<\mathrm{(}{90}^{\mathrm{\circ }}-\mathrm{\alpha }\mathrm{)}\mathrm{,}$ то луч AC лежит между сторонами угла BAD, следовательно, точка C лежит между точками B и D и BC < BD. Отрезки BC и BD являются проекциями наклонных AC и AD на прямую a, соответственно, поэтому, по свойству наклонных (см. параграф 5.1) AD > AC. Треугольники ABC и ABD прямоугольные (∠ B равен 90° по условию), поэтому ∠ ACB = β, ∠ ADB = α.

По определению

Отсюда

Заметим, что, если α – острый угол, то

Если все углы треугольника – острые, то этот факт следует из результата леммы 5.1 и теоремы 5.4. Если же один из углов треугольника, например, для определенности γ – тупой, то γ = 180° – (α + β), но sin (180° – (α + β)) = sin (α + β) и по лемме 5.2 sin (α + β) = sin γ > sin α и sin γ > sin β. Bторое утверждение следует из теоремы 5.4.

Пусть A, B, C – три данные точки. Если две точки из трёх или все три совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все три точки различны, но лежат на одной прямой, одна из них лежит между двумя другими без ограничения общности, например, B. Тогда AB + BC = AC. Отсюда AB < AC < AC + BC, BC < AC < AC + BC, AC = AB + BC и утверждение теоремы верно.

Пусть точки A, B и C не лежат на одной прямой. Докажем, что AB < AC + BC.
Опустим перпендикуляр CD на прямую AB. Точки A, B, D лежат на данной прямой и по доказанному AB ≤ AD + BD. Но AD < AC и BD < BC по построению и свойству наклонной. Отсюда AB < AC + BC. Теорема доказана.