Учебник. Пропорциональные отрезки и средняя линия треугольника

Проведём прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по первому признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. Лемма доказана.

Пусть $A_{3}O{B}_3$ – заданный угол, а $A_1{B}_1\mathrm{,}$  $A_2{B}_2$ и $A_3{B}_3$ – попарно параллельные прямые и $A_1{A}_2=A_2{A}_3\mathrm{.}$ Докажем, что $B_1{B}_2=B_2{B}_3$ Проведем через точку $B_2$ прямую $C_1{C}_2\mathrm{,}$ параллельную прямой $A_1{A}_3$ По лемме 4.1 $A_1{A}_2=C_1{B}_2\mathrm{,}$   $A_2{A}_3=B_2{C}_2$ и с учетом условия теоремы $C_1{B}_2=B_2{C}_2\mathrm{.}$ Кроме того, $\angle B_1{C}_1{B}_2=\angle B_2{C}_2{B}_3$ – как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $A_1{B}_1\mathrm{,}$   $A_3{B}_3$ и секущей $C_1{C}_2\mathrm{,}$ а $\angle B_1{B}_2{C}_1=\angle C_2{B}_2{B}_3\mathrm{,}$ как вертикальные. По второму признаку равенства треугольников $\Delta B_1{C}_1{B}_2=\Delta B_3{C}_2{B}_2\mathrm{.}$ Отсюда $B_1{B}_2=B_2{B}_3\mathrm{.}$ Теорема доказана.

Пусть [DE] – средняя линия в треугольнике ABC, т. е. AE = EC, CD = BD. Проведём через точку D прямую a, параллельную стороне AB. По теореме 4.11 прямая a пересекает сторону AC в её середине и, следовательно, содержит среднюю линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна стороне AB. Проведём среднюю линию DF. Она параллельна стороне AC. Тогда по лемме 4.1 отрезок ED равен отрезку AF и равен половине отрезка AB. Теорема доказана.

Пусть стороны угла O пересекаются параллельными прямыми в точках B, D и A, C соответственно.

Теоремой утверждается, что $\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}.$

Разделим отрезок OD на n равных частей. Пусть δ₁ – длина отрезка деления. Тогда OD = n ċ δ₁.

Возможны два случая.

1. Существует такое n, при котором C – точка деления. То есть существует m < n такое, что OC = m δ₁. Проведём через точки деления отрезка OD прямые, параллельные прямой BD. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок OB на равные отрезки некоторой длины ${\delta }_1\mathrm{.}$ Тогда $OA=m{\delta }_1\mathrm{,}$   $OB=n{\delta }_1$ и $\frac{OA}{OB}=\frac{m{\delta }_1}{n{\delta }_1}=\frac{m}{n}\mathrm{;}$    $\frac{OC}{OD}=\frac{m{\delta }_1}{n{\delta }_1}=\frac{m}{n}\mathrm{,}$ т. е. $\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}\mathrm{.}$
2. Ни при каком n, C не является точкой деления. Допустим, $\frac{OA}{OB}\ne \frac{OC}{OD}$ или без ограничения общности $\frac{OA}{OB}>\frac{OC}{OD}\mathrm{.}$ Отложим на луче OD отрезок $O{C}_1=\frac{OA}{OB}ċOD<OC\mathrm{.}$ Разобьём OD на n равных частей и проведем через точки разбиения прямые, параллельные BD. При достаточно большом n на отрезке C₁C будет точка деления. Обозначим её через X, а соответствующую точку на стороне OB – через Y.

По доказанному $\frac{OY}{OB}=\frac{OX}{OD}\mathrm{.}$

Заменим OY на большую величину OA, а OX – на меньшую величину $O{C}_1$ и получим $\frac{OA}{OB}>\frac{O{C}_1}{OD}$ или $O{C}_1<\frac{OA}{OB}\cdot OD\mathrm{.}$ Это противоречит построению отрезка $O{C}_1\mathrm{.}$

Теорема доказана.