Учебник. Прямоугольный треугольник

Пусть Δ ABC и Δ A₁B₁C₁ – данные треугольники и AB = A₁B₁; AC = A₁C₁;

$\angle C=\angle C_1={90}^{ˆ}$ Построим треугольник CBD, равный треугольнику CBA, и треугольник $C_1{B}_1{D}_1$ равный треугольнику $C_1{B}_1{A}_1$ Треугольники ABD и $A_1{B}_1{D}_1$ равны по теореме 4.7 (третий признак). Отсюда $\angle A=\angle A_1$ С учетом условия и по первому признаку (теорема 4.1) треугольники Δ ABC и $\Delta A_1{B}_1{C}_1$ равны. Теорема доказана.

Пусть a – данная прямая и A – не лежащая на ней точка. Проведем через какую-либо точку прямой a перпендикулярную к ней прямую a₁ (см. теорему 2.1), а также через точку A прямую b, параллельную прямой a₁ (см. теорему 3.3). Она будет перпендикулярна к прямой a по следствию 4.1. Если B – точка пересечения прямых a и b, то отрезок AB – перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a.

Допустим, что существует другой перпендикуляр AC. Тогда у треугольника ABC будет два прямых угла, но это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Теорема доказана.