Учебник. Демонстрационные задачи

Задача.

Найти объединение и пересечение множеств, если $A=\left\{x|x\in ℝ\mathrm{, }0<x<10\right\}\mathrm{,}$ $B=\left\{x|x\in ℝ\mathrm{, }\mathrm{-}7\le x<2\right\}\mathrm{.}$

По определению, объединение множеств A и B состоит из элементов как множества A, так и B. Таким образом, A∪B состоит из всех действительных чисел, входящих либо в промежуток (0; 10), либо в промежуток [-7; 2), то есть является объединением этих промежутков. На числовой прямой отметим концы данных промежутков (см. рисунок).

Объединением, очевидно, будет промежуток [-7; 10). Пересечением данных числовых промежутков будет промежуток с двойной штриховкой (см. рисунок). Таким образом, $A\cup B=\left\{x|x\in ℝ\mathrm{, }\mathrm{-}7\le x<10\right\}\mathrm{, }A\cap B=\left\{x|x\in ℝ\mathrm{, }0<x<2\right\}$

Задача.

Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна следующую форму логического рассуждения: "Если некоторые a являются b, а некоторые b являются c, то некоторые a являются c".

На языке теории множеств это означает, что если A∩B ≠ ∅ и B∩C ≠ ∅, то A∩C ≠ ∅. Но это не всегда верно, что и демонстрирует приведенная ниже диаграмма.

Задача.

Какие из следующих теорем верны? Какие из них являются по отношению друг к другу обратными, противоположными?

1. Если каждое из слагаемых делится на 11, то и сумма делится на 11.
2. Если ни одно из слагаемых не делится на 11, то и сумма не делится на 11.
3. Если если хотя бы одно из слагаемых делится на 11, то и сумма делится на 11.
4. Если сумма делится на 11, то и каждое из слагаемых делится на 11.
5. Если сумма не делится на 11, то хотя бы одно из слагаемых не делится на 11.
6. Если сумма не делится на 11, то ни одно из слагаемых не делится на 11.

Сформулируем эти теоремы с использованием кванторов и предикатов. Рассмотрим предикаты $A$ и $B\mathrm{.}$ Очевидно, что множество, на котором определены предикаты, по смыслу теоремы есть множество всех действительных чисел. Поэтому, приведенные теоремы запишутся следующим образом:

1. $\left(\mathrm{\forall }x\mathrm{, }y\right)$ – верно;
2. $\left(\mathrm{\forall }x\mathrm{, }y\right)$ – неверно;
3. $\left(\mathrm{\forall }x\mathrm{, }y\right)$ – неверно;
4. $\left(\mathrm{\forall }x\mathrm{, }y\right)$ – неверно;
5. $\left(\mathrm{\forall }x\mathrm{, }y\right)$ – верно;
6. $\left(\mathrm{\forall }x\mathrm{, }y\right)$ – неверно.

Пары (1.; 4.) и (2.; 6.) – взаимно обратные теоремы; теоремы 2. и 3. – противоположные, теоремы 4. и 5. также противоположны, так как по формуле де Моргана $\stackrel{\&macr;}{A\left(x\right)\wedge A\left(y\right)}=\stackrel{\&macr;}{A\left(x\right)}\vee \stackrel{\&macr;}{A\left(y\right)}\mathrm{.}$