Учебник. Аксиомы и теоремы в геометрии

Как было отмечено ранее, изучение геометрии основано на аксиоматическом методе. После формулировки основных понятий и аксиом все дальнейшие результаты теории – результаты логических рассуждений, которые оформляются в виде определенного вида утверждений. Рассмотрим это более подробно.

Теорема – утверждение, требующее доказательства. Таковыми являются, например, теоремы 1.1 и 1.2.

Лемма – вспомогательная теорема, которая приводится для того, чтобы с ее помощью доказать следующую теорему или группу теорем. Например, с помощью леммы 1.1 мы доказали теорему 1.2.

Следствие (из определения, теоремы, аксиомы) – теорема, которая позволяет более полно трактовать содержание данной теоремы, аксиомы, определения. Например, следствие 1.1 раскрывает дополнительные свойства двух прямых на основании аксиомы 1.2; следствие 1.2 – свойства точек, принадлежащих разным полуплоскостям, следующие непосредственно из определения 1.9 и аксиомы 1.6. Таким образом, основным средством познания (выяснения новых свойств геометрических фигур) в геометрии является доказательство теорем.

Рассмотрим, например, формулировку теоремы, данную в следствии 1.1: если на луче отложить от начальной его точки два отрезка AB и AC и если AB = AC, то точки B и C совпадут. Условием теоремы является предложение {на луче отложить от начальной его точки два отрезка AB и AC и AB = AC}. Это предложение не является в данном виде высказыванием, но содержит описание множества объектов, относительно которых делается высказывание вида AB = AC. Из описания ясно, что речь идет о множестве отрезков луча a, отложенных от начальной его точки. Поскольку один конец отрезка фиксирован, то отрезок определяется однозначно точкой луча. Обозначим как P множество точек луча, отличных от его начальной точки. Пусть B ∈ P – заданная точка. Тогда условие теоремы является предложением относительно точки множества P. Перепишем условие теоремы в виде: A (x) = {длина отрезка Ax = AB}. Очевидно, это предикат. Заключение теоремы есть предикат B (x) = {точка x совпадает с точкой B}. Тогда теорему можно переформулировать следующим образом: если x – произвольная точка луча AB такая, что Ax = AB, тогда точка x совпадает с точкой B, которую можно записать в виде $\left(\mathrm{\forall }x\in P\right)\left(A\left(x\right)\Rightarrow B\left(x\right)\right)\mathrm{.}$

Утверждается, что любую теорему можно записать в таком виде (мы показали на данном примере, как это можно сделать в частном случае), поэтому проанализируем структуру теоремы.
В ней можно выделить три части:

1. Условие теоремы: предикат A (x), заданный на множестве точек луча AB, без его начальной точки.
2. Заключение теоремы: предикат B (x), заданный на множестве точек луча AB за исключением точки A.
3. Разъяснительная часть: в ней описывается множество объектов, о которых идет речь в теореме.

В символической записи теоремы к разъяснительной части теоремы следует отнести запись $\left(\mathrm{\forall }x\in P\right)\mathrm{.}$

Пусть $\left(\mathrm{\forall }x\in X\right)\left(A\left(x\right)\Rightarrow B\left(x\right)\right)$ – запись истинной теоремы. Тогда ее условие и заключение образуют импликацию, истинную при всех x из множества X, и, следовательно, предикат B (x) логически следует из предиката A (x). Поэтому заключение теоремы B (x) является необходимым условием для условия A (x), а условие A (x) – достаточным для заключения теоремы B (x).

Пусть дана теорема $\left(\mathrm{\forall }x\in X\right)\left(A\left(x\right)\Rightarrow B\left(x\right)\right)\mathrm{.}$

На основании этого утверждения основан метод доказательства от противного. Суть этого метода состоит в том, что доказывают истинность теоремы, противоположной обратной, поскольку если эта теорема истинна, то и исходная теорема тоже верна.