Учебник. Отношения между множествами

Пусть во множестве A задано некоторое отношение "ˆ".

Всякое отношение эквивалентности $\mathrm{\sim }$ во множестве A позволяет специальным образом различать элементы этого множества. Обозначим через C (a) множество всех элементов x из A, таких, что $x\sim a\mathrm{.}$ Это множество является подмножеством A, которое называется классом эквивалентности a. Если $b\sim a\mathrm{,}$ то в силу симметричности и транзитивности отношения $\mathrm{\sim }$ любой элемент x, эквивалентный a, эквивалентен и b. Если же b не эквивалентен a, то C (a) и C (b) не имеют общих элементов, потому что если $x\sim a$ и $x\sim b$, то в силу симметричности $a\sim x$ и $x\sim b$, и в силу транзитивности $a\sim b\mathrm{,}$ что противоречит условию. Таким образом, отношением эквивалентности множество A разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности, при котором каждый элемент A попадает в свой класс.

Как мы видели в приведенных выше примерах, равенство на множестве отрезков является отношением эквивалентности и задает его разбиение на классы эквивалентности. Каждый такой класс содержит отрезки заданной длины.

Например: если две прямые a и b не пересекаются, то можно записать a∩b = ∅, если же они пересекаются, то по определению их пересечением является общая точка A (a∩b = A). Пересечением луча a с дополняющим его лучом a' является их общее начало O (a∩a' = O).

Например: объединением луча a с дополняющим его лучом a' является прямая.

Например: разностью прямой a и ее луча с началом O является множество точек дополняющего луча a' без начальной точки O.

Введенные операции обладают рядом свойств.

Пусть x∈(A∩B)∩C, отсюда x∈(A∩B) и x∈C, или x∈A, x∈B, x∈C. Отсюда x∈(B∩C) и x∈A, следовательно, x∈A∩(B∩C) и верно (A∩B)∩C⊂A∩(B∩C). Наоборот, если x∈A∩(B∩C), следует, что x∈A, x∈C, x∈B, откуда x∈(A∩B)∩C и верно A∩(B∩C)⊂(A∩B)∩C. Отсюда A∩(B∩C) = (A∩B)∩C (см. рис. 16.2.1 a), b)). Аналогично доказывается равенство множеств A∪(B∪C) = (A∪B)∪C.

Пусть x∈A∩B, то есть x∈A и x∈B, отсюда x∈A. Пусть теперь x∈A. Из условия A⊂B следует, что x∈B, отсюда x∈A∩B. Следовательно, A∩B = A.
Пусть x∈A∪B, тогда x∈A или x∈B. Но A⊂B, и, следовательно, x∈B, A∪B⊂B. Если x∈B, то по определению x∈A∪B и верно включение B⊂A∪B. Отсюда A∪B = B (см. рис. 16.2.2).

Связь операций пересечения и объединения множеств отражает свойство дистрибутивности.

а) Пусть x∈A∩(B∪C). Тогда x∈A и x∈(B∪C)→x∈A, x∈B или x∈C→x∈A∩B или x∈A∩C→x∈(A∩B)∪(A∩C)$\to$A∩(B∪C)⊂(A∩B)∪(A∩C). Пусть x∈(A∩B)∪(A∩C). Тогда x∈(A∩B) или x∈(A∩С)→(x∈A, x∈B) или (x∈A, x∈C)→x∈A и x∈B или x∈C→x∈A∩(B∪C) и отсюда (A∩B)∪(A∩C)⊂A∩(B∪C). Окончательно имеем A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) (см. рис. 16.2.3 a), b)).

б) Пусть x∈A∪(B∩C). Тогда x∈A или x∈(B∩C)$\to$x∈A или (x∈B и x∈C)$\to$ (x∈A или x∈B) и (x∈A или x∈C)$\to$x∈(A∪B)∩(A∪C)$\to$A∪(B∩C)⊂(A∪B)∩(A∪C). Обратно, пусть x∈(A∪B)∩(A∪C). Тогда x∈(A∪B) и x∈(A∪C)$\to$(x∈A или x∈B) и (x∈A или x∈C)$\to$ или x∈A или (x∈B и x∈C)$\to$x∈A∪(B∩C), то есть (A∪B)∩(A∪C)⊂A∪(B∩C). Следовательно, A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (см. рис. 16.2.4 a), b)).

Понятия множества и подмножества используются при определении многих понятий математики и, в частности, при определении геометрической фигуры.

Определим как универсальное множество плоскость. Тогда можно дать следующее определение геометрической фигуры в планиметрии.

Таким образом, как сама точка, так и конечное и бесконечное множество точек являются геометрическими фигурами.

Из определения 16.11 непосредственно следует, что объединение и пересечение геометрических фигур есть геометрическая фигура.

Если фигура F₁ явлется собственным подмножеством фигуры F₂, то говорят также, что F₁ – часть фигуры F₂. Например, отрезок AB – часть прямой.

Чтобы наглядно отображать множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях. Такие изображения множеств называют диаграммами Эйлера–Венна. Диаграммы Эйлера–Венна делают наглядными различные утверждения, касающиеся множеств. На них универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами. Диаграммы, представленные на рис. 16.2.5 a) – d), иллюстрируют понятия, введенные выше.

Диаграммами Эйлера–Венна удобно пользоваться для наглядного изображения между различными понятиями. На рисунке 16.2.5 a) и b) представлены отношения $B$ и $A$ – соответственно.

На рисунке 16.2.5 f) представлена диаграммама Эйлера–Венна для иллюстрации утверждения: если $A$ и $B$ то $A$

Рисунок 16.2.5 g) можно рассматривать как иллюстрацию опроверждения утверждения: если $A$ и $C$ то $C$