Учебник. Геометрия Лобачевского. Неевклидовы геометрии

Среди аксиом Евклида была аксиома о параллельности прямых, а точнее, пятый постулат о параллельных линиях: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. В современной формулировке она говорит о существовании не более одной прямой, проходящей через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.

Сложность формулировки пятого постулата породила мысль о возможной зависимости его от других постулатов, и потому возникали попытки вывести его из остальных предпосылок геометрии. Как правило, это заканчивалось неудачей. Были попытки доказательства от противного: прийти к противоречию, предполагая верным отрицание постулата. Однако и этот путь был безуспешным.

Наконец, в начале XX века почти одновременно сразу у нескольких математиков: у К. Гаусса в Германии, у Я. Больяи в Венгрии и у Н. Лобачевского в России возникла мысль о существовании геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.

В силу приоритета Н. Лобачевского, который первым выступил с этой идеей в 1826, и его вклада в развитие новой, отличной от евклидовой геометрии последняя была названа в его честь «геометрией Лобачевского».

Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание – аксиому параллельности Лобачевского

Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.

Как уже отмечалось в § 15.1, непротиворечивость системы аксиом доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы. Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости, которая будет здесь представлена, сделана по материалам учебника «Геометрия» (А. Д. Александров, А. Л. Вернар, В. И. Рыжик, М: Просвещение, 1991). Эта модель была предложена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 году.

Для начала напомним основные понятия и аксиоматику, на которой базировалось изложение, систематизировав их заново и дополнив необходимыми аксиомами.

За основные объекты были приняты точка, прямая и фигура. За основные отношения между этими объектами принимаются:

    1) точка принадлежит фигуре, в частности прямой;

    2) точка лежит между двумя точками для точек прямой.

Следующие определения базируются на основных определениях.

1. Фигура называется объединением некоторых данных фигур, если ей принадлежат все точки этих фигур, и никакие другие.
2. Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка.
3. Лучом AB называется часть прямой, состоящая из всех ее точек, лежащих по ту же сторону от точки A, что и точка B. Точка A называется вершиной луча.
4. Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла и двух различных лучей, исходящих из этой точки, – сторон угла.
5. Полуплоскостью, ограниченной прямой a, называется фигура, обладающая следующими свойствами:
   • она не содержит прямую a;
   • если точки A и B принадлежат полуплоскости, то отрезок AB не имеет общих точек с a;
   • если же A принадлежит полуплоскости, а B нет, то отрезок AB имеет общую точку с прямой a.

Приведем систему аксиом, обозначив римской цифрой номер группы, а арабской – номер аксиомы в группе.

    I. Аксиомы связи прямой и точки.

1. Существуют, по крайней мере, две точки.
2. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
3. Через любые две точки можно провести прямую и только одну.
4. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

    II. Метрические аксиомы отрезка.

1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
2. На каждом луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины и только один.

    III. Аксиома непрерывности.

1. Пусть A и B – любые две точки прямой a и пусть $L_1$ и $L_2$  – совокупности всех точек отрезка AB, таких, что $A\in L_1,$   $B\in L_2$   и любая точка из $L_1$ лежит по ту же сторону, что и точка A от любой точки из $L_2$ Тогда на прямой a существует точка C, такая, что любая точка из $L_1$ лежит по ту же сторону от C, что и A, а любая точка из $L_2$  – по ту же сторону от C, что и B.

    IV. Аксиомы плоскости.

• Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
• Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
• От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
• Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

    V. Аксиома параллельности Евклида.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Построение модели Пуанкаре начнем с того, что придадим конкретный смысл основным объектам и основным отношениям планиметрии Лобачевского. Для этого фиксируем на евклидовской плоскости E горизонтальную прямую x. Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.

Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему.

Фигура на плоскости Лобачевского – это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту (см. рис. 15.2.1). Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K' лежит между C' и D', где C', K' и D' – проекции точек C, K и D соответственно на абсолют. Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы движения в этой модели.

Неевклидовым движением называется преобразование L, которое является композицией конечного числа инверсий с центрами на абсолюте и осевых симметрий плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту. Инверсии с центром на абсолюте и осевые симметрии плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту, называют неевклидовыми симметриями. Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во второй.

Свойства неевклидовых движений.

1. Суперпозиция неевклидовых движений есть снова неевклидово движение. Это вытекает непосредственно из определения неевклидова движения.
2. При неевклидовых движениях образами неевклидовых отрезков, прямых, лучей и углов являются соответственно неевклидовы отрезки, прямые, лучи и углы. Это свойство вытекает из свойств инверсии и свойств евклидовой осевой симметрии. Необходимо отметить, что неевклидовы углы, преобразующиеся друг в друга неевклидовым движением, равны в смысле приведенного ранее определения, и их величины (в евклидовом смысле) также равны.
3. Если неевклидово движение переводит неевклидов луч в себя, то либо это тождественное преобразование, либо неевклидова осевая симметрия относительно неевклидовой прямой, содержащей данный луч. В обоих случаях все точки этой прямой для данного преобразования неподвижны. Это свойство дается без доказательства.

Выше дана реализация всех основных понятий аксиоматики планиметрии Лобачевского через понятия евклидовой геометрии. Теперь необходимо проверить справедливость приведенных выше аксиом.

Из группы аксиом I очевидна справедливость аксиом I.1, I.2, I.4.

Пусть даны точки A и B.

• 

  Прямая (евклидова) AB не перпендикулярна к абсолюту (рис. 15.2.2). Тогда серединный перпендикуляр p отрезка AB пересекает абсолют в некоторой точке O. Так как по построению OA = OB, то полуокружность окружности S с центром в точке O и радиусом OA, лежащая выше абсолюта, является неевклидовой прямой, содержащей точки A и B. Эта прямая (неевклидова) единственна, так как на абсолюте есть лишь одна точка, равноудаленная от точек A и B, – это точка O.
• Прямая (евклидова) AB перпендикулярна абсолюту (рис. 15.2.3). Тогда ее часть, лежащая выше абсолюта, будет неевклидовой прямой, проходящей через точки A и B, поскольку p || x.

Так как каждый неевклидов отрезок AB представляет из себя либо евклидов отрезок (если прямая AB перпендикулярна абсолюту), либо дугу окружности, то в первом случае аксиома выполнена очевидно.

Для анализа второго случая допустим, что AB есть искомый неевклидов отрезок. Рассмотрим инверсию i относительно окружности S с центром в точке O, пересечения неевклидовой прямой AB и абсолюта и радиусом R, равным OA > OB (рис. 15.2.4). При этом образом невклидовой прямой AB будет луч $A$ где $A=i(A),B_1=i(B)$ , а образом неевклидова отрезка – отрезок $A{B}_1$   евклидова луча $A{B}_1.$  Здесь $O_2$ – вторая точка пересечения неевклидовой прямой AB и абсолюта. Так как $A{B}_1$ является образом отрезка AB при неевклидовом движении, то они равны по определению и, следовательно, имеют равные длины. Так как аксиома выполнена для евклидова отрезка $A{B}_1$, то она выполнена и для неевклидова отрезка AB.

Возможны несколько случаев.

• Пусть неевклидов луч представляет из себя луч евклидовой прямой, который не имеет точки пересечения с абсолютом (рис. 15.2.5). Тогда выполнение аксиомы следует из ее справедливости для евклидова луча.

• Пусть неевклидов луч представляет из себя часть евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту и ограниченной началом A луча (включая точку A) и точкой O, лежащей на абсолюте (рис. 15.2.6).

  

  

  Сделаем преобразование инверсии относительно окружности S с центром в точке O и радиусом OA. По свойствам инверсии отрезок OA преобразуется в луч евклидовой прямой OA с началом в точке A. В соответствии с аксиомой II.2 на полученном луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины и только один. Пусть B – конец этого отрезка. Тогда ее прообразом при инверсии i является некоторая точка $B_1$ искомого евклидова луча. Так как отрезок $A{B}_1$  переводится в отрезок AB неевклидовым движением, то они равны и равны их длины. Это завершает доказательство.

• Неевклидов луч – дуга AO полуокружности, содержащая точку A – начало луча, и не содержащая точку O, точку пересечения полуокружности с абсолютом (рис. 15.2.7). Как и в случае рассмотрения аксиомы II.1, сделаем преобразование инверсии i относительно окружности S с центром в точке O и радиусом AO. Образом неевклидова луча AO будет луч евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту. На этом луче можно отложить отрезок данной длины и только один. Пусть B – конец этого отрезка. Далее обоснование дословно повторяет обоснование, приведенное в предыдущем пункте.

  

Аксиома непрерывности III для неевклидовых отрезков сводится к случаю евклидовых отрезков проектированием на абсолют (рис. 15.2.8) или преобразованием неевклидова отрезка в отрезок евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту, с помощью инверсии, описанной при доказательстве справедливости аксиомы II.1. В модели Пуанкаре выполняется аксиома IV.1. Неевклидовы полуплоскости изображены на рис. 15.2.9. Неевклидов отрезок, соединяющий две точки неевклидовой полуплоскости, не пересекает ее границы. Действительно, предположив противное, мы пришли бы к тому, что евклидовы окружности пересекались бы в четырех точках (рис. 15.2.10), что невозможно.

Возможные реализации углов в модели Пуанкаре для неевклидовых углов показаны на рис. 15.2.11.

Из рисунка видно, что неевклидовыми углами являются угол между пересекающимися окружностями, а также между окружностью и пересекающей ее прямой. В соответствии с определением, данным в разделе 13, угол между пересекающимися окружностями это – угол между касательными к ним прямыми, проведенными в точке пересечения, а угол между окружностью и пересекающей ее прямой – это угол между касательной к окружности в точке пересечения и прямой.

Таким образом величины неевклидовых углов определяются через величины соответствующих евклидовых углов. Отсюда достаточно очевидна справедливость аксиомы IV.2.

• Пусть неевклидовым лучом является луч (или часть луча) евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту (рис. 15.2.12). В соответствии с аксиомой IV.3 отложим от луча в данную полуплоскость евклидов угол с заданной градусной мерой. Это можно сделать и единственным образом. Пусть p – другая сторона этого угла. Через вершину луча проведем прямую q, перпендикулярную к лучу p до пересечения с абсолютом в точке O. Такая точка существует и единственна. Проведем полуокружность с центром в точке O и радиусом OA. Такая окружность существует и единственна. В силу определения и построения угол между искомым неевклидовым лучом и построенной окружностью имеет данную градусную меру.

• Пусть неевклидовым лучом с вершиной A является часть AB полуокружности (рис. 15.2.13) с центром в точке O на абсолюте.

  

  Проведем касательную p к полуокружности в точке A и отложим от луча AC угол, равный данному, в полуплоскость, не содержащую данную полуокружность. Пусть q – вторая сторона угла. Восстановим перпендикуляр к лучу q в точке A. Если этот перпендикуляр пересекает абсолют в точке H, то, построив полуокружность с центром в точке H и радиусом, равным AH, получим две пересекающиеся в точке A полуокружности, угол между которыми равен α по построению. Если же перпендикуляр не пересекает абсолют, т. е. он параллелен абсолюту или, что то же самое, луч q перпендикулярен x, то второй стороной неевклидова луча является искомый евклидов луч q. Единственность такого угла следует из справедливости аксиомы для евклидовой плоскости.

Проверку аксиомы IV.4 проведем только для случая, когда данный неевклидов луч есть часть полуокружности.

В соответствии с аксиомами II.2 и IV.3 отложим от вершины A данного луча отрезок $A{B}_2\mathrm{,}$ равный данной стороне $A_1{B}_1$  треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ . Кроме того, отложим от данного луча в данную полуплоскость угол, равный углу A₁ треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ . На луче, задающем вторую сторону отложенного угла, отложим от точки A отрезок $A{C}_2\mathrm{,}$ равный стороне $A_1{C}_1\mathrm{,}$ исходного треугольника. Покажем, что полученный треугольник $A{B}_2{C}_2$  равен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1\mathrm{.}$ Так как по построению $A{B}_2$  равен $A_1{B}_1$, существует неевклидово движение f, переводящее отрезок $A_1{B}_1$ в AB так, что $f(A_1)=A,f(B_1)=B_2.$  При неевклидовом преобразовании углы сохраняются, поэтому либо точка $C_3=f(C_1)$  окажется на луче $A{C}_2$ , либо его можно совместить с точкой этого луча дополнительной осевой симметрией относительно луча $A{B}_2$. При этом по свойству 3 отрезок $A{B}_2$  перейдет в себя и $\phi (A)=A,\phi (B_2)=B_2.$  В силу свойства 1 преобразование $\phi ˆf$  также будет неевклидовым движением. Покажем, что точка C₃ совпадет с C₂. Действительно, если бы это было не так, то оказалось бы, что на луче AC₂ отложены два различных отрезка данной длины, что противоречит аксиоме II.2. Следовательно, существует неевклидово движение, которое переводит данный треугольник $A_1{B}_1{C}_1$   в треугольник $A{B}_2{C}_2$ , что завершает доказательство.

Утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и некоторой точки A, не лежащей на a, но и для любой неевклидовой прямой a и любой не лежащей на ней точки A (рис. 15.2.14).

Приведенное выше рассмотрение позволяет сделать вывод о непротиворечивости геометрии Лобачевского и обосновать независимость аксиомы параллельности от остальных аксиом групп I–IV с той степенью строгости, конечно, с которой была построена и обоснована модель Пуанкаре в данном изложении.

Используя модель Пуанкаре, можно изучить свойства плоскости Лобачевского. На плоскости Лобачевского L' через каждую точку A, не лежащую на прямой a, проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую a (рис. 15.2.15).

Все эти прямые заполняют два вертикальных угла, ограниченных прямыми p и q. Граничные прямые p и q, не пересекающие прямую a, называются на плоскости Лобачевского параллельными прямой a и проходящими через A. Каждому направлению на прямой a соответствует своя параллельная прямая, проходящая через A.

Характерным свойством параллельных прямых на плоскости Лобачевского является то, что они неограниченно сближаются в направлении параллельности и неограниченно расходятся в противоположном направлении (рис. 15.2.16).

Те прямые на плоскости Лобачевского, которые и не пересекаются, и не параллельны, называются расходящимися. Характерное свойство расходящихся прямых – наличие у них единственного перпендикуляра.

В модели Пуанкаре параллельные прямые изображаются полуокружностями и лучами, касающимися на абсолюте (рис. 15.2.17, а).

На плоскости Лобачевского углы и длины связаны другими зависимостями, нежели на плоскости Евклида. Одно из характерных свойств плоскости L выражается функцией Лобачевского $\Pi (x)$ .

Из некоторой точки O прямой a проводится луч $p\perp a$  (рис. 15.2.18). Пусть $X\in p$  – произвольная точка, а x – длина отрезка OX. Определим $\Pi (x)$  как величину острого угла между отрезком OX и прямой, параллельной прямой a и проходящей через точку X. Тогда свойство можно сформулировать так.

При возрастании x от нуля до бесконечности функция $\Pi (x)$ непрерывно убывает от 90° до 0°.

Существование таких зависимостей между длинами отрезков и углами означает, что на плоскости Лобачевского нет подобных фигур.

Например, на плоскости Лобачевского справедлив признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского меньше 180°. Разность между 180° и суммой углов треугольника называется избытком треугольника. Оказывается, что на плоскости Лобачевского площадь треугольника пропорциональна его избытку. Следовательно, на плоскости Лобачевского площади треугольников ограничены некоторой постоянной. Величины углов на плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре равны величинам соответствующих углов на евклидовой плоскости. Поэтому все перечисленные свойства углов плоскости L можно увидеть на модели Пуанкаре.

Для иллюстрации аксиомы о параллельности прямых рассмотрим следующую схему. Имея прямую a и точку A вне ее, соединяем A с точкой P, лежащей на a, и отодвигаем точку P в положение P', P'', ... и все дальше, и дальше на a (иными словами, представляется последовательность точек P, P', P'', ... или соответственно последовательность прямых AP, AP', AP'', ...). Прямая AP при этом вращается вокруг A и достигнет некоторого предельного положения, когда P удалится в бесконечность, и эту предельную прямую и надо понимать как прямую, параллельную прямой a, проходящую через A.

При этом нет никаких изначальных соображений, в силу которых прямая AP должна приближаться к одному и тому же предельному положению при удалении P в бесконечность как в одну, так и в другую сторону, что дает абстрактную возможность существования двух различных прямых, проходящих через A, параллельных прямой a. В этой связи постулат параллельных прямых в евклидовой геометрии – не что иное, как соглашение о том, что эти два предельных положения должны совпадать, и через точку A должна проходить только одна прямая, параллельная прямой a. На примере геометрии Лобачевского было показано, что допущение о несовпадении предельных прямых, а именно отрицание аксиомы о единственности прямой, проходящей через точку A, не привело к противоречию, а наоборот, привело к построению новой неевклидовой геометрии. Однако наряду с геометрией Лобачевского существует еще один вид неевклидовой геометрии, которую полезно упомянуть.