Учебник. Площадь круга

К теореме 13.6

Построим два правильных n-угольника: P₁ – вписанный в круг и P₂ – описанный около круга (рис. 13.3.1).

Многоугольники являются простыми фигурами. Многоугольник $P_2$ содержит круг, а многоугольник $P_1$ содержится в круге. Радиусы, проведенные в вершины многоугольника $P_1$ разбивают его на n треугольников, равных треугольнику AOD. Поэтому $S_{P_1}\mathrm{.}$   Так как $S_{AOD}\mathrm{,}$   $S_{P_1}\mathrm{,}$   где p – периметр многоугольника $P_1$  r – радиус круга. Аналогично находим площадь многоугольника $P_2$ : $S_{P_2}\mathrm{,}$   $S_{BOF}\mathrm{,}$   $S_{P_2}\mathrm{.}$   Итак, многоугольник $P_1$ содержащийся в круге, имеет площадь $S_{P_1}\mathrm{,}$   а многоугольник, содержащий круг, имеет площадь $S_{P_2}\mathrm{.}$   При достаточно большом n периметр p отличается сколь угодно мало от длины l окружности, а cos α сколь угодно мало отличается от единицы, поэтому площади многоугольников сколь угодно мало отличаются от величины $\frac{lr}{2}\mathrm{.}$   Согласно определению площади произвольной фигуры это значит, что площадь круга $S\mathrm{.}$   Теорема доказана.