Учебник. Площади многоугольников

Пусть ABCD и AB₁C₁D – два прямоугольника с общим основанием AD (рис. 13.2.1).

К теореме 13.2		К теореме 13.2

Пусть S и $S_1$ – их площади. Докажем, что $\frac{S}{S_1}=\frac{AB}{A{B}_1}\mathrm{.}$   Разобьем сторону AB прямоугольника на некоторое число n равных частей, каждая из которых равна $\frac{AB}{n}\mathrm{.}$   Пусть m – число точек деления, которые лежат нa стороне AB₁. Тогда $\left(\frac{AB}{n}\right)m\le A{B}_1\le \left(\frac{AB}{n}\right)\left(m+1\right)\mathrm{.}$   Отсюда, разделив на AB, получим $\frac{m}{n}\mathrm{.}$   (*)

Проведем через точки деления прямые, параллельные основанию AD. Они разобьют прямоугольник ABCD на n равных прямоугольников. Каждый из них имеет площадь $\frac{S}{n}\mathrm{.}$   Прямоугольник $A{B}_1{C}_{1}D$ содержит первые m прямоугольника, считая от стороны AD, и содержится в m + 1 прямоугольниках. Поэтому $\left(\frac{S}{n}\right)\mathrm{.}$   Отсюда $\frac{m}{n}\mathrm{.}$   (**)

Сравнивая неравенства (*) и (**), заключаем, что $0\mathrm{.}$   При этом $\frac{S_1}{S}$   и $\frac{A{B}_1}{AB}$  – фиксированные числа, а n может быть выбрано сколь угодно большим. Следовательно, неравенство возможно только при $\frac{S_1}{S}=\frac{A{B}_1}{AB}\mathrm{.}$   Возьмем теперь единичный квадрат, прямоугольник со сторонами 1, a и прямоугольник со сторонами a, b (рис. 13.2.2). Площадь прямоугольника со сторонами 1 и a обозначим $S^{\prime }$ Сравнивая их площади, по доказанному будем иметь $\frac{S^{\prime }}{1}$   и $\frac{S}{S^{\prime }}\mathrm{.}$   Перемножая эти равенства почленно, получим S = a ċ b. Теорема доказана.

Пусть ABCD – данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности A острый (рис. 13.2.3).

К теореме 13.3

Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD, т.е. равна AE ċ AD. Отрезок AE – высота параллелограмма, соответствующая стороне AD, и, следовательно, S = a ċ h. Теорема доказана.

Пусть ABC – данный треугольник (рис. 13.2.7). Дополним его до параллелограмма ABCD, как показано на рисунке.

К теореме 13.4

Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и CDA. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC. Высота параллелограмма, соответствующая стороне CB, равна высоте треугольника, проведенной к стороне CB. Отсюда следует утверждение теоремы, и $S\mathrm{.}$  Теорема доказана.

Пусть ABCD – данная трапеция (рис. 13.2.9).

К теореме 13.5

Диагональ AC трапеции разбивает ее на два треугольника: ABC и CDA. Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников. Площадь треугольника ACD равна $\frac{1}{2}\mathrm{,}$   площадь треугольника ABC равна $\frac{1}{2}\mathrm{.}$   Высоты AF и CE этих треугольников равны расстоянию h между параллельными прямыми BC и AD, т.е. высоте трапеции. Следовательно, $S\mathrm{.}$   Теорема доказана.