Учебник. Инверсия

Действительно, пусть A – некоторая точка плоскости, отличная от точки O. Тогда пара точек {O; A} определяет единственный луч OA и отрезок OA. Найдем из соотношения (1) $O\mathrm{.}$  В соответствии с аксиомой 1.5 существует единственная точка $A_1$  на луче OA, такая, что $O\mathrm{.}$  В соответствии с определением данное соответствие есть преобразование точек плоскости. В силу симметрии соотношения (1) относительно сомножителей OA и $O\mathrm{,}$  точно такие же рассуждения можно привести относительно единственности точки A при заданном $A_1\mathrm{.}$  Отсюда следует, что соответствие, заданное соотношением (1), – взаимно однозначное преобразование.

С учетом определения обратного преобразования это свойство можно записать так: преобразование инверсии $i_{\omega }$  и обратное к нему преобразование $i_{\omega }^{\mathrm{-}1}$  совпадают $i_{\omega }\mathrm{.}$

Вспоминая, что $i_{\omega }ċi_{\omega }^{\mathrm{-}1}=e\mathrm{,}$   где e – тождественное преобразование, получим окончательно $i_{\omega }ċi_{\omega }=e\mathrm{.}$

Пусть $A$  – единственная общая точка фигур F и $\tilde{F}\mathrm{,}$  а $A_1$  – образ точки A при инверсии $i_{\omega }\mathrm{.}$  Если $F_1$  и ${\tilde{F}}_1\mathrm{,}$  то очевидно, $A_1\mathrm{.}$  Допустим, что существует еще какая-либо общая для фигур $F_1$  и $\widetilde{F_1}$  точка $B_1\mathrm{,}$  отличная от точки $A_1\mathrm{,}$  и B – ее прообраз. Но в силу теоремы 12.24 $B$  и $\tilde{F}\mathrm{,}$  и, следовательно, $B$  и по условию B = A. Но тогда одновременно должны быть верны соотношения $i_{\omega }\mathrm{,}$  что противоречит взаимной однозначности инверсии.

Рассмотрим фигуру F, задаваемую уравнением $A\mathrm{.}$    (4) Рассмотрим образ $F_1$  этой фигуры при инверсии $i_{\omega }\mathrm{.}$  Для этого подставим в уравнение (4) соотношения (3), связывающие координаты образа и прообраза при отображении $i_{\omega }\mathrm{.}$  Получим $\frac{A{R}^4\left(x_1^2+y_1^2\right)}{{\left(x_1^2+y_1^2\right)}^2}\mathrm{,}$ то есть $D\mathrm{.}$   (5) Это и есть уравнение, которое задает образ $F_1$  фигуры F при инверсии $i_{\omega }\mathrm{.}$

Рассмотрим различные случаи, перечисленные в условии теоремы.

1. Пусть A = D = 0, тогда исходное уравнение определяет прямую F: Bx + Cy = 0. При этом уравнение (5) имеет вид $B\mathrm{,}$  что также задает прямую F (рис. 12.8.3).
2. F – прямая, не проходящая через точку O. Тогда A = 0, D ≠ 0 и уравнение для F примет вид $D\mathrm{,}$   что приводится к виду $x_1^2\mathrm{.}$   Выделив полные квадраты, имеем ${\left(x_1-a\right)}^2\mathrm{.}$ Это уравнение задает окружность, проходящую через точку O (рис. 12.8.4).
3. F – окружность, проходящая через точку O. Тогда A ≠ 0, но D = 0, и уравнение (4) имеет вид $A\mathrm{.}$ После подстановки (3) имеем $A\mathrm{,}$ или $B\mathrm{.}$ Это уравнение прямой, не проходящей через начало координат, то есть через точку O, так как A ≠ 0 (рис. 12.8.5)
4. F – окружность, не проходящая через точку O. В этом случае A ≠ 0, D ≠ 0. Действительно, тогда уравнение (4) можно записать в виде $x^2\mathrm{.}$ Выделяя полный квадрат, имеем ${\left(x-a\right)}^2\mathrm{.}$    (6) Но при преобразовании инверсии уравнение, задающее $F_1\mathrm{,}$  имеет тот же вид, что и исходное уравнение (4), и, следовательно, может быть приведено к виду (6) (рис. 12.8.6).

Заметим, что образом прямой при инверсии является либо окружность, либо прямая, и наоборот, прообразом прямой в силу теоремы 12.24 также является либо прямая, либо окружность. Отсюда и на основании определений, приведенных выше, следует, что образом угла (так же, как и его прообразом) является угол, сторонами которого в общем случае являются касательные к соответствующим окружностям. Поэтому достаточно рассмотреть доказательство для случая двух прямых $l_1$  и $l_2\mathrm{,}$  не проходящих через центр инверсии. При этом возможны два случая: либо угол между прямыми равен нулю, либо угол отличен от нуля.

Первый случай возникает, во-первых, когда прямые $l_1$  и $l_2$  совпадают, и, во-вторых, когда прямая и окружность (или две окружности) касаются. В случае совпадений прямых их образы, очевидно, также совпадают, и, следовательно, значение угла между прямыми сохраняется. Если же имеет место случай касания, то по лемме 12.1 их образы при инверсии также касаются. Действительно, поскольку исходные фигуры касаются, то они имеют единственную общую точку и по лемме 12.1 их образы также имеют единственную общую точку, то есть касаются, и, следовательно, угол между прямыми равен нулю.

Во втором случае прямые $l_1$  и $l_2$ пересекаются в некоторой точке A, отличной от центра инверсии. Тогда образами прямых $l_1$  и $l_2$ будут окружности ${\omega }_1$  и ${\omega }_2\mathrm{,}$  которые пересекаются в точке O (см. теорему 12.26) и еще в некоторой точке $B\mathrm{.}$  Поскольку углы между окружностями в точках O и B равны, можно рассмотреть угол в точке O. Касательные прямые ${\mathrm{l\text{'}}}_1$  и ${\mathrm{l\text{'}}}_2$  в точке O к окружностям ${\omega }_1$  и ${\omega }_2$  параллельны прямым $l_1$  и $l_2$  соответственно. Докажем это. Рассмотрим прямую $l\mathrm{,}$  касающуюся окружности $\omega$  в точке C. Пусть ${\omega }_0$  – ее прообраз при инверсии относительно окружности $\omega \mathrm{.}$  В силу теоремы 12.25 $C\mathrm{,}$  а по теореме 12.26 – $O$  и OC = R. Рассмотрим окружность $\tilde{\omega }\mathrm{,}$  где $O_1$  – середина отрезка OC, а $r=O_{1}O=O_{1}C=\frac{R}{2}\mathrm{.}$  Покажем, что ${\omega }_0$  (рис. 12.8.7).

Действительно, выберем произвольную точку $A_1\mathrm{.}$   Пусть $A_1\mathrm{.}$   Треугольник $O$  – прямоугольный по построению окружности $\tilde{\omega }\mathrm{.}$  Угол $\angle CAO$   – прямой, как вписанный в окружность $\tilde{\omega }$  и опирающийся на диаметр OC. Тогда по свойству высоты, опущенной на гипотенузу, имеем $O\mathrm{,}$  но $C\mathrm{.}$  Учтем, что $O\mathrm{,}$  и получим $O$ но $OA+A{A}_1=O{A}_1\mathrm{,}$  и окончательно имеем $O\mathrm{.}$ Таким образом, прообраз любой точки прямой l лежит на $\tilde{\omega }\mathrm{.}$  Аналогично можно показать, что любая, кроме точки O, точка A окружности $\tilde{\omega }$  является прообразом точки $A_1$  в силу единственности прообраза $\tilde{\omega }\mathrm{.}$  Так как OC – диаметр окружности ${\omega }_0$  и l касается $\omega$  по условию, а $\omega$  и ${\omega }_0$  также касаются друг друга в точке C, то l касается ${\omega }_0$  в точке C, и тогда касательная $l_0$  к ${\omega }_0$  в точке O параллельна l.

По условию, прямые l и $l_1$ параллельны, и поэтому у них нет общих точек. Поэтому их образы при инверсии относительно $\omega$  также не имеют общих точек, кроме точки O. Следовательно, ${\omega }_0$  и ${\omega }_1$  касаются в точке O, и касательные $l_0$  и ${\mathrm{l\text{'}}}_1$  совпадают. Отсюда следует, что $l_1\mathrm{.}$  Аналогично $l_2\mathrm{.}$  Следовательно, угол между прямыми $l_1$  и $l_2$  совпадает с углом между двумя прямыми ${\mathrm{l\text{'}}}_1$  и ${\mathrm{l\text{'}}}_2\mathrm{.}$  Теорема доказана.

По определению инверсии выполняются равенства $O\mathrm{,}$  $O\mathrm{.}$ Следовательно, $O$   и потому $\frac{O{A}_1}{OB}\mathrm{.}$   Треугольники OAB и $O$  имеют общий угол при вершине O, и их стороны, идущие из этой вершины, пропорциональны. По второму признаку подобия треугольники OAB и $O$  подобны (рис. 12.8.8).

Отсюда следует, что $\frac{A_1{B}_1}{AB}\mathrm{.}$  Из этого равенства $A_1\mathrm{.}$ Из определения инверсии $O{A}_1=\frac{R^2}{OA}\mathrm{.}$  Подставляя в выражение для $A_1\mathrm{,}$  имеем $A_1\mathrm{.}$

Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность $\tilde{\omega }$  (рис. 12.8.9). Рассмотрим инверсию $i_{\omega }$  с центром в точке D. Образом окружности $\tilde{\omega }$   при этой инверсии (с некоторым радиусом R) будет прямая l, не содержащая точку D. Пусть $A_1\mathrm{,}$   $B_1$  и $C_1\mathrm{.}$   Тогда $A_1\mathrm{.}$   По лемме 12.2 $A_1\mathrm{,}$  $A_1$  и $B_1\mathrm{.}$  Подставим эти выражения в равенство и получим $A\mathrm{.}$ Сократив на $R^2$  и умножив равенство на AD ċ BD ċ DC, получим AC ċ DB = AB ċ DC + BC ċ AD.