Учебник. Параллельный перенос

Введем в плоскости систему координат OXY, и пусть $A$   и $A^{\mathrm{ \prime }}$   – заданные точки. Определим параллельный перенос f равенствами $x^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$   где $a\mathrm{,}$   $b\mathrm{.}$   Тогда данный параллельный перенос действительно переводит точку A в $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$   так как $a_1\mathrm{;}$   $b_1\mathrm{.}$ Предположим, что существует отличный от f параллельный перенос φ, такой, что $\mathrm{\phi }\mathrm{.}$   По определению φ: $\{\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{ \prime }}=x+\alpha \\ y^{\mathrm{ \prime }}=y+\beta \end{array}\mathrm{.}$ Из последних равенств $\alpha \mathrm{,}$   т. е. $\phi \mathrm{,}$   что совпадает с f, а это противоречит предположению. Теорема доказана.

Действительно, две произвольные точки $A$   переходят при параллельном переносе в точки $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$   Поэтому $A\mathrm{,}$   $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$   Отсюда $A\mathrm{.}$   Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние, а значит, является движением. Теорема доказана.

Пусть f – движение, переводящее точку A в точку $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$   Пусть $\stackrel{⟶}{r}\mathrm{.}$   Выберем произвольную отличную от A точку B, и пусть $f\mathrm{.}$   По условию $\stackrel{⟶}{AB}\mathrm{.}$   По теореме 12.8 имеем $\stackrel{⟶}{A{A}^{\mathrm{ \prime }}}$   или, следовательно, $\stackrel{⟶}{r}\mathrm{.}$   Отсюда $\stackrel{⟶}{r}\mathrm{.}$   Ввиду произвольности выбора точки B теорема доказана.