Учебник. Векторные уравнения прямой

Положение прямой на плоскости может быть задано одним из следующих способов:

• прямая l проходит через точку $M_0$  параллельно вектору $\stackrel{⟶}{a}\mathrm{;}$
• прямая l проходит через точки $M_1$  и $M_2\mathrm{;}$
• прямая l проходит через точку $M_0$  перпендикулярно вектору $\stackrel{⟶}{n}\mathrm{;}$
• прямая l проходит через точку $M_0$  и составляет с вектором $\stackrel{⟶}{i}$  угол α (см. рис. 11.5.1).

Любой вектор $\stackrel{⟶}{a}\mathrm{,}$ параллельный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой. Любой вектор $\stackrel{⟶}{n}\mathrm{,}$ перпендикулярный прямой l, называется нормальным вектором прямой. Если взять на прямой какие-либо две фиксированные точки $M_0$  и $M_1\mathrm{,}$  то вектор $\stackrel{⟶}{M_0{M}_1}\mathrm{,}$  в частности, будет направляющим вектором прямой $M_0{M}_1\mathrm{.}$

Пусть прямая l задана точкой $M_0$  и направляющим вектором $\stackrel{⟶}{a}$  (см. рис. 11.5.2). Пусть M – произвольная точка прямой.

Обозначим $\stackrel{⟶}{r_0}$  и $\stackrel{⟶}{r}$  радиус-векторы точек $M_0$  и M соответственно. Вектор $\stackrel{⟶}{M_{0}M}$  параллелен прямой, и, следовательно, вектору $\stackrel{⟶}{a}$  тогда и только тогда, когда M лежит на прямой. Так как $\stackrel{⟶}{a}\mathrm{,}$  то $\stackrel{⟶}{r}\mathrm{.}$ Переменная t, принимающая различные значения, называется параметром, а уравнение – векторно-параметрическим уравнением прямой.

Если ввести систему координат $\left(O\mathrm{, }\stackrel{⟶}{i}\mathrm{, }\stackrel{⟶}{j}\right)\mathrm{,}$  то уравнение можно записать в виде $\left(x\stackrel{⟶}{i}+y\stackrel{⟶}{j}\right)\mathrm{,}$ где $\left(x\mathrm{, }y\right)$  и $\left(x_0\mathrm{, }{y}_0\right)$  – координаты точек $M_0$  и M, а $\left(a_1\mathrm{, }{a}_2\right)$  – координаты вектора $\stackrel{⟶}{a}\mathrm{.}$  Отсюда следует, что $\{\begin{array}{c}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\end{array}\mathrm{.}$ Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Пусть $a_1$  и $a_2\mathrm{,}$  тогда из уравнений следует, что $t\mathrm{,}$ $t$  и, окончательно, уравнение $\frac{x-x_0}{a_1}\mathrm{,}$  которое называется каноническим уравнением прямой, с направляющим вектором $\stackrel{⟶}{a}\mathrm{.}$

Если $a_1\mathrm{,}$  то параметрическое уравнение примет вид $\{\begin{array}{l}x=x_0\hfill \\ y=y_0+a_{2}t\hfill \end{array}\mathrm{.}$

Это уравнение задает прямую, параллельную оси Oy и проходящую через точку $M_0\left(x_0\mathrm{; }{y}_0\right)\mathrm{.}$  Каноническое уравнение прямой имеет вид $x\mathrm{.}$  Аналогично, если $a_2\mathrm{,}$  то прямая, задаваемая системой $\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\mathrm{,}\hfill \\ y=y_0\mathrm{,}\hfill \end{array}$ проходит через точку $M_0$  параллельно оси Ox. Ее каноническое уравнение имеет вид $y\mathrm{.}$

Как было отмечено ранее, направляющим вектором прямой можно выбрать вектор $\stackrel{⟶}{M_0{M}_1}\mathrm{,}$  где $M_0$  и $M_1$  – произвольные две точки прямой. Тогда, подставив координаты вектора $\stackrel{⟶}{M_0{M}_1}$  в каноническое уравнение, получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: $\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\mathrm{.}$ Рассмотрим уравнение прямой, проходящей через две точки $M_0$  и $M_1\mathrm{,}$  первая из которых лежит на оси Ox и имеет, следовательно, координаты $M_0\mathrm{,}$  а вторая лежит на оси Oy и имеет координаты $M_1\mathrm{.}$  Подставляя их в уравнение, получим $\frac{x-a}{0-a}\mathrm{,}$ или $\frac{x}{a}\mathrm{.}$ Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Пусть $M_0$  – некоторая точка прямой, $\stackrel{⟶}{n}$  – вектор, перпендикулярный прямой, а $M$  – произвольная точка этой прямой (см. рис. 11.5.3). Тогда M лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор $\stackrel{⟶}{M_{0}M}$  перпендикулярен вектору $\stackrel{⟶}{n}\mathrm{,}$  а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов $\stackrel{⟶}{n}$  и $\stackrel{⟶}{M_{0}M}$  равнялось нулю: $\left(\stackrel{⟶}{n\mathrm{, }}\stackrel{⟶}{M_{0}M}\right)\mathrm{.}$  Введя радиус-векторы $\stackrel{⟶}{r_0}$  и $\stackrel{⟶}{r}$  точек $M_0$  и M, это уравнение можно записать в виде $\left(\stackrel{⟶}{r}-\stackrel{⟶}{r_0}\mathrm{, }\stackrel{⟶}{n}\right)\mathrm{.}$  Это – нормальное векторное уравнение прямой, а $\stackrel{⟶}{n}$  – нормальный вектор прямой. Если переписать его через координаты точек $M_0\mathrm{,}$  M и вектор $\stackrel{⟶}{n}$  в ортогональной декартовой системе координат, получим $A\mathrm{.}$ Это уравнение прямой, проходящей через данную точку $M_0$  перпендикулярно вектору $\stackrel{⟶}{n}\mathrm{.}$  Обозначив $C\mathrm{,}$  окончательно имеем Ax + By + C = 0.

В § 11.4 было показано, что любая прямая может быть задана этим уравнением при условии $A^2\mathrm{.}$  Назовем это уравнение общим уравнением прямой. Следовательно, для любой прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0, можно считать, что вектор $\stackrel{⟶}{n}$  перпендикулярен прямой, а вектор $\stackrel{⟶}{a}$  параллелен ей. Действительно, так как $\left(\stackrel{⟶}{a}\mathrm{, }\stackrel{⟶}{n}\right)\mathrm{,}$  векторы $\stackrel{⟶}{a}$  и $\stackrel{⟶}{n}$  взаимно ортогональны, а поскольку $\stackrel{⟶}{n}$  – нормальный вектор к прямой, то $\stackrel{⟶}{a}$  параллелен ей. Тогда $\stackrel{⟶}{a}$  – направляющий вектор прямой.

При рассмотрении векторно-параметрического уравнения прямой мы показали, как перейти к каноническому уравнению, из которого легко получить общее уравнение прямой. Аналогично, из нормального векторного уравнения так же легко перейти к общему уравнению прямой. Покажем теперь, как из общего уравнения прямой получить ее векторные уравнения.

Пусть прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0 в прямоугольной декартовой системе координат. Тогда мы знаем, что вектор $\stackrel{⟶}{a}$  – направляющий вектор прямой, $\stackrel{⟶}{n}$  – ее нормальный вектор. Так как $A^2\mathrm{,}$  предположим для определенности, что A ≠ 0. Тогда точка $M_0$  принадлежит прямой. В этом легко убедиться, подставив координаты точки в уравнение прямой. Приведенных данных достаточно, чтобы получить векторные уравнения прямой. Действительно, $\{\begin{array}{l}x=\mathrm{-}\frac{C}{A}-Bt\hfill \\ y=0+At\hfill \end{array}$    – векторно-параметрическое уравнение; $A$    – векторное нормальное уравнение.