Учебник. Решение задач векторным методом

При решении геометрических задач векторным методом нужно от геометрической постановки задачи перейти к ее векторному описанию. Затем, пользуясь свойствами векторов и операций над ними, найти некоторые векторные соотношения, отражающие данные и условия задачи, из которых можно получить решение задачи. Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям.

Пусть M и N – середины диагоналей трапеции ABCD (см. рис. 11.4.1). Покажем, что MN || AD. Для этого достаточно показать, что $\stackrel{⟶}{MN}$  коллинеарен $\stackrel{⟶}{AD}\mathrm{.}$

Так как M и N – середины отрезков AC и BD, то $\begin{array}{l}\stackrel{⟶}{AM}=\frac{1}{2}\stackrel{⟶}{AC}=\frac{1}{2}\left(\stackrel{⟶}{AB}+\stackrel{⟶}{BC}\right)\mathrm{,}\\ \stackrel{⟶}{AN}=\frac{1}{2}\left(\stackrel{⟶}{AB}+\stackrel{⟶}{AD}\right)\mathrm{.}\end{array}$ Следовательно, $\stackrel{⟶}{MN}\mathrm{.}$ Но $\stackrel{⟶}{BC}$  коллинеарен вектору $\stackrel{⟶}{AD}$ , поэтому $\lambda \mathrm{.}$ Тогда $\stackrel{⟶}{MN}\mathrm{,}$ то есть $\stackrel{⟶}{MN}$  коллинеарен $\stackrel{⟶}{AD}\mathrm{,}$ что и требовалось доказать.

Задача 2. Разделить данный отрезок AB в данном отношении m : n, то есть найти точку M∈AB, такую, что AM : MB = m : n.

Очевидно, что M∈AB делит отрезок AB в заданном отношении m : n тогда и только тогда, когда $\stackrel{⟶}{AM}\mathrm{.}$ Кроме того, $\stackrel{⟶}{OA}\mathrm{;}$ $\stackrel{⟶}{OM}\mathrm{.}$ Отсюда $\stackrel{⟶}{AM}\mathrm{;}$ $\stackrel{⟶}{MB}\mathrm{.}$ Подставляя в исходное соотношение, имеем $\stackrel{⟶}{OM}\mathrm{,}$ откуда находим $\stackrel{⟶}{OM}\mathrm{.}$ В частности, если M – середина отрезка AB, то m = n, и получим $\stackrel{⟶}{OM}\mathrm{.}$

Если точки A и B заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат $\left(O\mathrm{, }\stackrel{⟶}{e_1}\mathrm{, }\stackrel{⟶}{e_2}\right)\mathrm{,}$ то, используя формулу, можно легко найти координаты точки M в той же системе координат. Векторное равенство равносильно числовым равенствам $x\mathrm{;}$  $y\mathrm{,}$ где $\left(x_1\mathrm{, }{y}_1\right)$  и $\left(x_2\mathrm{, }{y}_2\right)$  – координаты концов отрезка AB, а x и y – координаты искомой точки M.

В частности, когда точка M является серединой отрезка AB, получаем $x\mathrm{,}$ $y\mathrm{.}$ Таким образом, мы векторным путем получили результаты, полученные нами ранее в § 10.2 (см. теоремы 10.3 и 10.4).