Суммой векторов ⟶a(a1; a2)
и ⟶b(b1; b2) называется вектор ⟶c(a1+b1; a2+b2),
⟶a(a1; a2)+⟶b(b1; b2)=⟶c(a1+b1; a2+b2).
Для любых векторов ⟶a(a1; a2), ⟶b(b1; b2) справедливы равенства
Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство ⟶AB+⟶BC=⟶AC.
Пусть A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3) –
Вектор ⟶AB имеет координаты x2 - x1, y2 - y1, вектор ⟶BC имеет координаты x3 - x2, y3 - y2. Следовательно, вектор ⟶AB+⟶BC имеет координаты x3 - x1, y3 - y1 Вектор ⟶AC имеет такие же координаты. По теореме 11.5 ⟶AB+⟶BC=⟶AC. Теорема доказана.
Замечание. Теорема 11.6 даёт следующий способ построения суммы произвольных векторов ⟶a и ⟶b. Надо от конца вектора ⟶a отложить вектор ⟶b′, равный вектору ⟶b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора ⟶a, а конец – с концом вектора ⟶b′, будет суммой векторов ⟶a и ⟶b.
Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.
Разностью векторов ⟶a(a1; a2) и ⟶b(b1; b2) называется такой вектор ⟶c(c1; c2), который в сумме с вектором ⟶b дает вектор ⟶a: ⟶b+⟶c=⟶a, откуда c1 = a1– b1; c2 = a2– b2.
Произведением вектора a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) на число λ называется вектор ⟶b(λa1; λa2), т. е. λ⟶a(a1; a2)=⟶b(λa1; λa2).
Абсолютная величина вектора λ⟶a
равна |λ || a|. Направление вектора λ⟶a
при ⟶a≠0
совпадает с направлением вектора ⟶a,
если
Построим векторы ⟶OA
и ⟶OB,
равные ⟶a
и λ⟶a
соответственно (O – начало координат). Пусть a1
и a2 – координаты вектора ⟶a.
Тогда координатами точки A будут числа a1
и a2,
координатами точки B – числа λa1
и λa1.
Уравнение прямой OA имеет вид: αx + βy = 0. Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A (a1; a2), то ему удовлетворяют и координаты точки
Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы ⟶a и λ⟶a одинаково направлены. Если λ < 0, то точка B лежит на дополнительном луче и векторы ⟶a и λ⟶a противоположно направлены.
Абсолютная величина вектора λ⟶a равна |λ⟶a|=√(λa1)2+(λa2)2=|λ|√a21+a22=|λ||⟶a|. Теорема доказана.
Для любых отличных от нуля коллинеарных векторов ⟶a и ⟶b существует такое число λ, что ⟶b=λ⟶a.
Пусть ⟶a
и ⟶b одинаково направлены. Векторы ⟶b
и (|⟶b||⟶a|)⟶a одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину |⟶b|. Значит, они равны: ⟶b=(|⟶b||⟶a|)⟶a=λ⟶a,
λ=|⟶b||⟶a|. Если векторы ⟶a
и ⟶b противоположно направлены, аналогично заключаем, что
⟶b=-(|⟶b||⟶a|)⟶a=λ⟶a,
λ=-|⟶b||⟶a|.
Теорема доказана.
Пусть ⟶a и ⟶b – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Любой вектор ⟶c можно единственным образом представить в виде ⟶c=λ⟶a+μ⟶b.
Пусть A и B – начало и конец вектора ⟶c. Проведем через точки A и B прямые, параллельные векторам ⟶a и ⟶b. Они пересекутся в некоторой точке C. Имеем ⟶AB=⟶AC+⟶CB. Так как векторы ⟶a и ⟶AC коллинеарны, то ⟶AC=λ⟶a; так как векторы ⟶CB и ⟶b коллинеарны, то ⟶CB=μ⟶b. Таким образом, ⟶c=λ⟶a+μ⟶b.
Для доказательства единственности представления допустим, что в условиях теоремы такое представление не единственно. То есть наряду с числами λ и μ такими, что ⟶c=λ⟶a+μ⟶b существуют числа λ1 и μ1 такие, что ⟶c=λ1⟶a+μ1⟶b и при этом верно хотя бы одно из соотношений λ≠λ1, μ≠μ1. Пусть для определенности λ≠λ1. Тогда из равенства λ⟶a+μ⟶b=λ1⟶a+μ1⟶b имеем ⟶a=μ-μ1λ1-λ⟶b. На основании теоремы 11.7 и замечания 11.1 получаем, что векторы ⟶a и ⟶b коллинеарны. Но это противоречит условию неколлинеарности этих векторов. Показанное противоречие доказывает единственность представления. Теорема доказана.
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением векторов ⟶a(a1; a2) и ⟶b(b1; b2) называется число a1b1 + a2b2. Скалярное произведение векторов ⟶a и ⟶b обозначется ⟶a⟶b.
Для любых векторов ⟶a(a1; a2), ⟶b(b1; b2) и ⟶c(c1; c2) верно:
Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Пусть ⟶a и ⟶b – данные векторы и φ – угол между ними. Имеем:
Единичные векторы ⟶l1(1; 0) и ⟶l2(0; 1), имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.
Любой ненулевой вектор ⟶a(a1; a2) единственным образом можно разложить по координатным векторам, то есть записать в виде ⟶a=a1⟶l1+a2⟶l2.
Так как координатные векторы отличны от нуля и неколлинеарны, то любой вектор ⟶a(a1; a2) допускает разложение по этим векторам в силу теоремы 11.9 ⟶a=λ⟶l1+μ⟶l2. Найдем λ и μ. Умножим обе части равенства скалярно на вектор ⟶l1(1; 0). Имеем ⟶a⟶l1=λ⟶l1⟶l1+μ⟶l2⟶l1. С учетом того, что ⟶l1 и ⟶l2 ортогональны, имеем a1 ċ l + a2 ċ 0 = λ(l ċ l +0 ċ 0); λ = a1. Аналогично, умножая равенство на ⟶l2, получим ⟶a⟶l2=μ⟶l2⟶l2 или a1 ċ 0 + a2 ċ l = μ(0 ċ 0 + l ċ l); μ = a2. Таким образом, для любого вектора ⟶a(a1; a2) получается разложение ⟶a=λ⟶l1+μ⟶l2. Так как в силу теоремы 11.4 и теоремы 11.5 координаты однозначно определяют вектор, то разложение единственно. Теорема доказана.