Processing math: 100%

Учебник. Операции с векторами и их свойства




Операции с векторами и их свойства

Суммой векторов a(a1a2) и b(b1b2) называется вектор c(a1+b1a2+b2),
  a(a1a2)+b(b1b2)=c(a1+b1a2+b2).

Для любых векторов a(a1a2),  b(b1b2) справедливы равенства

a+b=b+a,
a+(b+c)=(a+b)+c.

Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство AB+BC=AC.


Пусть A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3) – данные точки.

Вектор AB имеет координаты x2-x1,y2-y1, вектор BC имеет координаты x3-x2,y3-y2. Следовательно, вектор AB+BC имеет координаты x3-x1,y3-y1 Вектор AC имеет такие же координаты. По теореме 11.5 AB+BC=AC. Теорема доказана.

Правило треугольника
Построение суммы векторов по правилу треугольника

Замечание. Теорема 11.6 даёт следующий способ построения суммы произвольных векторов a и b. Надо от конца вектора a отложить вектор b, равный вектору b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец – с концом вектора b, будет суммой векторов a и b.


Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Правило параллелограмма

Разностью векторов a(a1a2) и b(b1b2) называется такой вектор c(c1c2), который в сумме с вектором b дает вектор a:   b+c=a, откуда c1 = a1– b1; c2 = a2– b2.

Произведением вектора a ⟶ ( a 1 ;  a 2 ) на число λ называется вектор b(λa1λa2), т. е. λa(a1a2)=b(λa1λa2).

  • Для любого вектора a и чисел λ и μ  
    (λ+μ)a=λa+μa;
  • Для любых двух векторов a и b и числа λ
    λ(a+b)=λa+λb.

Абсолютная величина вектора λa равна |λ || a|. Направление вектора λa при a0 совпадает с направлением вектора a, если λ > 0, и противоположно направлению вектора a, если λ < 0.


Построим векторы OA и OB, равные a и λa соответственно (O – начало координат). Пусть a1 и a2 – координаты вектора a. Тогда координатами точки A будут числа a1 и a2, координатами точки B – числа λa1 и λa1.
Уравнение прямой OA имеет вид: αx + βy = 0. Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A (a1; a2), то ему удовлетворяют и координаты точки B (λa1; λa2). Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA. Координаты c1 и c2 любой точки C, лежащей на луче OA, имеют те же знаки, что и координаты a1 и a2 точки A, и координаты любой точки, которая лежит на луче, дополнительном к OA, имеют противоположные знаки.

Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы a и λa одинаково направлены. Если λ < 0, то точка B лежит на дополнительном луче и векторы a и λa противоположно направлены.

Абсолютная величина вектора λa равна |λa|=(λa1)2+(λa2)2=|λ|a21+a22=|λ||a|. Теорема доказана.


Для любых отличных от нуля коллинеарных векторов a и b существует такое число λ, что b=λa.


Пусть a и b одинаково направлены. Векторы b и (|b||a|)a одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину |b|. Значит, они равны: b=(|b||a|)a=λa,   λ=|b||a|. Если векторы a и b противоположно направлены, аналогично заключаем, что
b=-(|b||a|)a=λa,
  λ=-|b||a|. Теорема доказана.


Пусть a и b – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Любой вектор c можно единственным образом представить в виде c=λa+μb.


Пусть A и B – начало и конец вектора c. Проведем через точки A и B прямые, параллельные векторам a и b. Они пересекутся в некоторой точке C. Имеем AB=AC+CB. Так как векторы a и AC коллинеарны, то AC=λa; так как векторы CB и b коллинеарны, то CB=μb. Таким образом, c=λa+μb.

К теореме 11.9

Для доказательства единственности представления допустим, что в условиях теоремы такое представление не единственно. То есть наряду с числами λ и μ такими, что c=λa+μb существуют числа λ1 и μ1 такие, что c=λ1a+μ1b и при этом верно хотя бы одно из соотношений λλ1,   μμ1. Пусть для определенности λλ1. Тогда из равенства λa+μb=λ1a+μ1b имеем a=μ-μ1λ1-λb. На основании теоремы 11.7 и замечания 11.1 получаем, что векторы a и b коллинеарны. Но это противоречит условию неколлинеарности этих векторов. Показанное противоречие доказывает единственность представления. Теорема доказана.


Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов a(a1a2) и b(b1b2) называется число a1b1+a2b2. Скалярное произведение векторов a и b обозначется ab.

Для любых векторов a(a1a2),   b(b1b2) и c(c1c2) верно:

  • ab=ba;
  • (λa)b=λab;
  • (a+b)c=ac+bc.

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.


Пусть a и b  – данные векторы и φ – угол между ними. Имеем:

(a+b)2=(a+b)(a+b)=(a+b)a+(a+b)b=(aa)+(ba)+(ab)+(bb)=(a)2+2ab+(b)2.
или
|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab.
Скалярное произведение ab, таким образом, выражается через длины векторов a,   b и a+b, т. е. систему координат можно выбрать любую, а величина скалярного произведения не изменится. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпало с началом вектора a, а сам вектор a лежал на положительной полуоси оси Ox. Тогда координатами вектора a будут числа |a| и 0, а вектора b  – |b|cosφ и |b|sinφ. По определению
ab=|a|ċ|b|cosφ+0ċ|b|sinφ=|a|ċ|b|cosφ.

Скалярное произведение двух векторов

Единичные векторы l1(10) и l2(01), имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.


Любой ненулевой вектор a(a1a2) единственным образом можно разложить по координатным векторам, то есть записать в виде a=a1l1+a2l2.


Так как координатные векторы отличны от нуля и неколлинеарны, то любой вектор a(a1a2) допускает разложение по этим векторам в силу теоремы 11.9 a=λl1+μl2. Найдем λ и μ. Умножим обе части равенства скалярно на вектор l1(10). Имеем al1=λl1l1+μl2l1. С учетом того, что l1 и l2 ортогональны, имеем a1ċl+a2ċ0=λ(lċl+0ċ0);λ=a1. Аналогично, умножая равенство на l2, получим al2=μl2l2 или a1ċ0+a2ċl=μ(0ċ0+lċl);μ=a2. Таким образом, для любого вектора a(a1a2) получается разложение a=λl1+μl2. Так как в силу теоремы 11.4 и теоремы 11.5 координаты однозначно определяют вектор, то разложение единственно. Теорема доказана.


 

 

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

 

 

 

© Физикон, 1999–2015