Учебник. Основные понятия и свойства

Пусть данные векторы $\stackrel{⟶}{AB}$ и $\stackrel{⟶}{CD}$ сонаправлены с вектором $\stackrel{⟶}{MN}$ Докажем, что $\stackrel{⟶}{AB}$ сонаправлен с $\stackrel{⟶}{CD}\mathrm{.}$

$\stackrel{⟶}{AB}$ сонаправлен с $\stackrel{⟶}{MN}\mathrm{.}$ Следовательно, прямые AB и MN – параллельны, и существует такая прямая l, перпендикулярная им обеим, что лучи AB и MN лежат в одной полуплоскости от l.

$\stackrel{⟶}{CD}$ сонаправлен с $\stackrel{⟶}{MN}\mathrm{.}$ Следовательно, прямые CD и MN параллельны, и существует прямая $l_1\mathrm{,}$ такая что лучи CD и MN лежат в одной полуплоскости.

Так как (AB) || (MN) и (CD) || (MN), то (AB) || (CD). $l\perp (MN)$ и $l_1\perp (MN)\mathrm{,}$ тогда по следствию 4.1 $l\mathrm{|}\mathrm{|}{l}_1\mathrm{.}$ Тогда из двух полуплоскостей, которые образуются при разбиении плоскости прямыми l₁ и l и содержат луч MN, одна содержит другую. Пусть эта полуплоскость ограничена прямой l и содержит луч MN. Тогда она содержит лучи MN, AB и CD. Отсюда следует, что [AB) и [CD) лежат в одной полуплоскости от прямой l и лежат на параллельных прямых и, следовательно, одинаково направлены. Отсюда векторы $\stackrel{⟶}{AB}$ и $\stackrel{⟶}{CD}$ сонаправлены. Теорема доказана.

По свойству параллелограмма AB = CD и (AB) параллельна (CD). Кроме того, лучи AB и CD лежат по одну строну от прямой AC. Поэтому $\stackrel{⟶}{AB}$ и $\stackrel{⟶}{CD}$ сонаправлены. Значит, $\stackrel{⟶}{AB}=\stackrel{⟶}{CD}\mathrm{.}$ Обратно: пусть $\stackrel{⟶}{AB}=\stackrel{⟶}{CD}$ и прямые AB и CD не совпадают. Тогда эти прямые параллельны. Кроме того, $\mathrm{|}\stackrel{⟶}{AB}\mathrm{|}=\mathrm{|}\stackrel{⟶}{CD}\mathrm{|}\mathrm{.}$ Отсюда по признаку параллелограмма  ABDC – параллелограмм. Теорема доказана.

Пусть даны равные векторы $\stackrel{⟶}{AB}$ и $\stackrel{⟶}{CD}\mathrm{.}$ Если они не лежат на одной прямой, то согласно теореме 11.2 ABCD – параллелограмм и $\stackrel{⟶}{AC}=\stackrel{⟶}{BD}\mathrm{.}$

Пусть $\stackrel{⟶}{AB}$ и $\stackrel{⟶}{CD}$ лежат на одной прямой. Введем на этой прямой координату x, и пусть числа $x_A\mathrm{,}$  $x_B\mathrm{,}$  $x_C\mathrm{,}$  $x_D\mathrm{,}$ – координаты соответственно точек A, B, C, D. Тогда условие $\stackrel{⟶}{AB}=\stackrel{⟶}{CD}$ означает, что для этих координат выполнено равенство $x_B-x_A=x_D-x_C\mathrm{.}$ Отсюда следует, что $x_C-x_A=x_D-x_B$, а это означает, что $\stackrel{⟶}{AC}=\stackrel{⟶}{BD}\mathrm{.}$

Замечание. Равенство |x_B – x_A| = |x_D – x_C| означает равенство длин отрезков AB и CD, т. е. AB = CD; совпадение знаков разностей $(x_B-x_A)$ и $(x_D-x_C)$ означает сонаправленность векторов $\stackrel{⟶}{AB}$ и $\stackrel{⟶}{CD}\mathrm{.}$

Пусть $\stackrel{⟶}{AB}$ и $\stackrel{⟶}{CD}$ – равные векторы, где $A(x_1;y_1)\mathrm{,}$  $B(x_2;y_2)\mathrm{,}$  $C(x_3;y_3)\mathrm{,}$ $D(x_4;y_4)$ – концы отрезков AB и CD. Если $\stackrel{⟶}{AB}$ и $\stackrel{⟶}{CD}$ не лежат на одной прямой, то из равенства векторов следует, что четырехугольник ABCD – параллелограмм (см. теорему 11.2). Тогда x₂ – x₁ = x₄ – x₃, y₂ – y₁ = y₄ – y₃, и теорема доказана.

Если векторы $\stackrel{⟶}{AB}=\stackrel{⟶}{CD}$ лежат на одной прямой l, рассмотрим прямую $l_1\mathrm{|}\mathrm{|}l$ и вектор $\stackrel{⟶}{MN}$ на ней, равный данным. Пусть $M(x_0;y_0),N(x_0^{\text{'}};y_0^{\text{'}})\mathrm{.}$ Так как $\stackrel{⟶}{AB}$ и $\stackrel{⟶}{MN}$ равны и лежат на параллельных прямых, из предыдущего пункта $x_2-x_1=x_0^{\text{'}}-x_0\mathrm{,}$  $y_2-y_1=y_0^{\text{'}}-y_0\mathrm{.}$ С другой стороны $\stackrel{⟶}{MN}=\stackrel{⟶}{CD}\mathrm{,}$ и аналогично $x_2-x_1=x_0^{\text{'}}-x_0\mathrm{,}$  $y_2-y_1=y_0^{\text{'}}-y_0\mathrm{.}$ Сравнивая равенства, получаем требуемое x₂ – x₁ = x₄ – x₃, y₂ – y₁ = y₄ – y₃.

Пусть $\stackrel{⟶}{AB}\mathrm{(}{a}_1\mathrm{; }{a}_2\mathrm{)}$ и $\stackrel{⟶}{CD}\mathrm{(}{b}_1\mathrm{; }{b}_2\mathrm{)}$ – два различных вектора, причем $a_1=b_1$ и $a_2=b_2\mathrm{.}$ Пусть $(x_1\mathrm{;}{y}_1),(x_2\mathrm{;}{y}_2),(x_3\mathrm{;}{y}_3)\text{и}(x_4\mathrm{;}{y}_4)$ координаты соответственно точек A, B, C и D. Тогда $x_2-x_1=x_4-x_3\mathrm{,}$
$y_2-y_1=y_4-y_3\mathrm{.}$ Из этих равенств следует, что $\frac{x_1+x_4}{2}=\frac{x_2+x_3}{2}\mathrm{,}$   $\frac{y_1+y_4}{2}=\frac{y_2+y_3}{2}\mathrm{.}$

1. Если $\stackrel{⟶}{AB}$ и $\stackrel{⟶}{CD}$ не лежат на одной прямой, то последние равенства означают, что диагонали параллелограмма ABCD при пересечении делятся пополам. Тогда ABDC – параллелограмм, и отсюда по теореме 11.2 $\stackrel{⟶}{AB}=\stackrel{⟶}{CD}\mathrm{.}$

2. Если $\stackrel{⟶}{AB}$ и $\stackrel{⟶}{CD}$ лежат на одной прямой l, рассмотрим прямую $l\mathrm{|}\mathrm{|}{l}_1$ и вектор $\stackrel{⟶}{MN}$ на ней, равный $\stackrel{⟶}{AB}\mathrm{.}$ Пусть $(x_0\mathrm{;}{y}_0),(x_0^{\text{'}}\mathrm{;}{y}_0^{\text{'}})$  – координаты соответственно точек M и N. Тогда по теореме 11.4 $x_0^{\text{'}}-x_0=a_1\mathrm{,}$  $y_0^{\text{'}}-y_0=a_2\mathrm{.}$ Так как векторы $\stackrel{⟶}{CD}$ и $\stackrel{⟶}{MN}$ не лежат на одной прямой, и их координаты равны, то по доказанному в предыдущем пункте $\stackrel{⟶}{CD}=\stackrel{⟶}{MN}\mathrm{.}$ С учетом того, что $\stackrel{⟶}{AB}=\stackrel{⟶}{MN}$ по выбору, по свойству 3 равенства векторов два вектора $\stackrel{⟶}{AB}$ и $\stackrel{⟶}{CD}\mathrm{,}$ равные третьему вектору $\stackrel{⟶}{MN}\mathrm{,}$ равны, т. е. $\stackrel{⟶}{AB}=\stackrel{⟶}{CD}\mathrm{.}$ Теорема доказана.