Открытая Математика. Планиметия. Гипербола и её свойства

Гипербола и её свойства

В § 7 было получено уравнение гиперболы. Перейдём к новой системе координат, как и в § 8.

В новой системе координат, которую называют также канонической, уравнение гиперболы имеет вид

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 .

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Отметим следующие свойства гиперболы.

Гипербола не имеет общих точек с осью Oy, а ось Ox пересекает в двух точках A (a; 0) и B (–a; 0), которые называются вершинами гиперболы.

Для определения координат точек пересечения гиперболы с осью Oy нужно совместно решить их уравнения

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1; x = 0 .

Подставляя x = 0 в уравнение гиперболы, получим $y^{2} = - b^{2} .$ а это означает, что система не имеет решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось ординат.

Для определения координат точек пересечения гиперболы с осью Ox нужно решить совместно их уравнения

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1; y = 0 .

Отсюда, подставляя y = 0 в уравнение гиперболы, получаем x = ±a.

Таким образом, точками пересечения гиперболы с осью Ox будут точки A (a; 0) и B (–a; 0).

Отрезок AB называется действительной осью гиперболы, его длина равна 2a. Число a называется действительной полуосью гиперболы, число b – мнимой полуосью.

Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Обоснование этого свойства аналогично тому, как обосновано свойство 10.3 для эллипса.

Гипербола имеет центр симметрии.

Если координаты точки M (x; y) удовлетворяют уравнению гиперболы, тому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N (–x; –y). Точка N, очевидно, симметрична точке M относительно начала координат.

Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы.

Гипербола пересекается с прямой y = kx при $| k | < \frac{b}{a}$ в двух точках. Если $| k | \geq \frac{b}{a} .$ то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Для определения координат точек пересечения гиперболы и прямой y = kx нужно решить систему уравнений

{\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ y = k x \end{array} .

Исключая y, получаем

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{k^{2} x^{2}}{b^{2}} = 1

или

(b^{2} - k^{2} a^{2}) x^{2} = a^{2} b^{2} .

При $b^{2} - k^{2} a^{2} \leq 0 .$ то есть при $| k | \geq \frac{b}{a} .$ полученное уравнение, а потому и система решений не имеют. Прямые с уравнениями $y = \frac{b}{a} x$ и $y = - \frac{b}{a} x$ называются асимптотами гиперболы.

При $b^{2} - k^{2} a^{2} > 0 .$ то есть при $| k | < \frac{b}{a} .$ система имеет два решения:

x = \pm \frac{a b}{\sqrt{b^{2} - k^{2} a^{2}}}

y = \pm \frac{k a b}{\sqrt{b^{2} - k^{2} a^{2}}} .

Следовательно, каждая прямая, проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом, модуль которого меньше $\frac{b}{a} .$ пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения A (a; 0) и B (–a; 0) – вершины гиперболы.

Так как гипербола симметрична относительно осей координат, то достаточно изучить её форму в первом квадранте координатной плоскости. Из полученных формул

x = \frac{a b}{\sqrt{b^{2} - k^{2} a^{2}}} .

y = \frac{k a b}{\sqrt{b^{2} - k^{2} a^{2}}}, k > 0

видно, что при возрастании k от нуля до $\frac{b}{a}$ (при этом угол наклона прямой к оси Ox возрастает от нуля до некоторого значения) и абциссы, и ординаты точек пересечения прямой с гиперболой возрастают. Прямая y = kx пересекает гиперболу во все более далеких от начала координат точках. Таким образом, гипербола имеет вид, изображенный на рис. 10.9.1, и состоит из двух не связанных между собой частей, называемых её ветвями.

Точки $F_{1} (- c; 0)$ и $F_{2} (c; 0)$ называются фокусами гиперболы. Здесь $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$

Величина $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}$ называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается так же, как и в случае эллипса, буквой ε.

Из определения

ε = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} > 1 .

Из формулы видно, что чем меньше эксцентриситет, тем более гипербола сжата к оси Ox.

В соответствии с обозначениями

\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{p^{2} k^{2}}{k^{2} - 1} \cdot \frac{{(k^{2} - 1)}^{2}}{p^{2} k^{2}} = k^{2} - 1 .

Тогда, аналогично случаю с эллипсом,

ε = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + k^{2} - 1} = k .

Координаты точки A при переходе в новую систему координат будут равны

{\begin{array}{l} x' = \frac{p}{2} - \frac{1 + k^{2}}{1 - k^{2}} \frac{p}{2} = \frac{k^{2} p}{k^{2} - 1} = a \cdot ε = c \\ y' = - x = 0 \end{array} .

То есть точка A в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус $F_{2}$ гиперболы, и поэтому совпадает с ним.

Уравнение же прямой l в новой системе координат будет иметь вид

x' = - \frac{p}{2} - \frac{1 + k^{2}}{1 - k^{2}} \frac{p}{2} = \frac{p}{k^{2} - 1} .

Обозначим $\frac{p}{k^{2} - 1} = d .$ Так как $d = \frac{p}{k^{2} - 1} = \frac{p k}{(k^{2} - 1) k} = \frac{a}{ε} .$ то, поскольку для гиперболы ε > 1, имеем d < a. Прямая x = d называется директрисой гиперболы, соответствующей фокусу $F_{2} .$ Прямую x = –d называют директрисой, соответствующей фокусу $F_{1} .$

С учётом симметрии гиперболы относительно осей координат, свойство, с помощью которого определили гиперболу, в новых терминах можно сформулировать так же, как и в случае эллипса: отношение расстояния от любой точки гиперболы до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид гиперболы и её директрис в канонической системе координат приведен на рис. 10.9.2.

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Гипербола и её свойства

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ