Учебник. Неравенства и геометрические фигуры

Пусть A₁ (x₁; y₁) и A₂ (x₂; y₂) – точки, координаты которых удовлетворяют исходному неравенству: ax₁ + by₁ + c > 0; ax₂ + by₂ + c > 0. По теореме 10.4 координаты (x; y) любой точки отрезка A₁A₂ вычисляются по формулам x = x₁ + λ (x₂ – x₁), y = y₁ + λ (y₂ – y₁), 0 ≤ λ ≤ 1. Рассмотрим ax + by + c = a (x₁+ λ (x₂ – x₁)) + b (y₁ + λ (y₂ – y₁)) + c = (1 – λ)[ax₁ + by₁ + c] +λ (ax₂ + by₂ + c ) > 0. Отрезок A₁A₂ не пересекает прямую ax + by + c = 0, следовательно, лежит по одну сторону от нее. Таким образом, множество точек, удовлетворяющих неравенству, лежат в одной полуплоскости.

Покажем, что все точки этой полуплоскости удовлетворяют исходному неравенству. Допустим противное, а именно: существует точка A₀ (x₀; y₀) полуплоскости, координаты которой не удовлетворяют исходному неравенству. Тогда либо ax₀ + by₀+ c = 0, либо ax₀ + by₀ + c < 0. В первом случае точка (x₀; y₀) лежит на прямой, разбивающей плоскость на две полуплоскости, и по определению не принадлежит ни одной из них, и мы приходим к противоречию с предположением. Во втором случае с учетом исходного неравенства ax₁ + by₁ + c > 0 для точки A₁ имеем, во-первых, что (ax₁ + by₁ + c) / (a (x₁ – x₀) + (y₁ – y₀)) < 1, во-вторых, что a (x₀ – x₁) + b (y₀ – y₁) < 0. Рассмотрим отрезок A₀A₁. Точки этого отрезка удовлетворяют равенствам: x = x₁ + λ (x₀ – x₁), y = y₁ + λ (y₀ – y₁). Умножим первое равенство на a, второе – на b, сложим и прибавим к обоим частям c. В результате получим равенство ax + by + c = ax₁ + by₁ + c + λ (a (x₀ – x₁) + b (y₀ – y₁)). Приравняем обе части равенства к нулю. Равенство нулю правой части дает значение λ = (ax₁ + by₁+ c) / (a (x₁ – x₀) + (y₁ – y₀)). C учетом ранее полученных неравенств имеем: 0 < λ < 1. Это значит, что точка (x; y) принадлежит отрезку A₀A₁. С другой стороны, равенство ax + by +c = 0 означает, что точка (x; y) лежит на прямой, разбивающей плоскость на две полуплоскости. То есть отрезок A₀A₁ пересекает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости, следовательно, точки A₀ и A₁ лежат в разных полуплоскостях. Полученное противоречие доказывает теорему.