Учебник. Отрезок на координатной плоскости
Проекцией отрезка AB на ось Ox (Oy) называется отрезок [Ax; Bx] ([Ay; By]), где Ax и Bx(Ay, By) соответственно проекции точек A и B на ось Ox (Oy).
Если A1 (x1; y1), A2 (x2; y2) две произвольные точки плоскости Oxy, а d – расстояние между ними, то d вычисляется из соотношения d2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2.
Утверждение теоремы следует из определения проекций отрезка и теоремы Пифагора.
Длина проекции отрезка AB на ось абсцисс (ординат) равна |xA – xB|(|yA – yB|), где (xA; yA) – координаты точки A, (xB; yB) – координаты точки B.
Если A(x1; y1), B(x2; y2) – произвольные разные точки плоскости Oxy, то координаты (x; y) середины отрезка AB вычисляют по формулам
A (x1; y1) и B (x2; y2) – произвольные точки плоскости Oxy.
Пусть AB не параллелен оси Oy, т. е. x1 ≠ x2. Проведем через точки A, B, C прямые, параллельные оси Oy. Они пересекут ось Ox в точках Ax (x1; 0), Bx (x2; 0), Cx (x; 0). По теореме Фалеса точка Cx – середина отрезка [AxBx], то есть AxCx = CxBx или |x – x1| = |x – x2|. Отсюда либо x – x1 = x – x2, либо x – x1 = –(x – x2). Первое равенство невозможно, так как x1 ≠ x2, а второе дает Если , то и равенство остается верным. Ордината точки C находится аналогичными построениями и рассуждениями. Следовательно, Теорема доказана.
Если A (x1; y1), B (x2; y2) – произвольные разные точки плоскости Oxy, то координаты (x; y) любой точки C (x; y) отрезка AB могут быть вычислены по формулам где и наоборот, любая точка C (x; y), где x и y найдены по этим формулам, является точкой отрезка AB при λ ∈ [0; 1].
Пусть [AB] – заданный отрезок, где A (x1; y1), B (x2; y2). Предположим x1 ≠ x2, y1 ≠ y2. Тогда прямая AB не параллельна осям координат. Проведем через точки A, C и B прямые, параллельные оси ординат. Они пересекут ось абсцисс в точках соответственно. По теореме 4.13 имеем или или Отсюда либо x – x1 = λ (x2 – x1) или x = x1 + λ (x2 – x1), либо x – x1 = –λ (x2 – x1). Но если C – середина отрезка, то по теореме 10.3 и второе равенство преобразуется к равенству , что противоречит предположению.
Если x1 = x2, то x = x1 = x2 и равенство остается верным.
Аналогично доказывается, что ордината точки C удовлетворяет равенству y = y1 + λ (y2 – y1). Пусть теперь точка C (x; y) – произвольная точка плоскости, координаты которой удовлетворяют заданным равенствам, где A (x1; y1) и B (x2; y2) – координаты двух разных заданных точек A и B соответственно в плоскости Oxy. Длина отрезка С учетом, что 0 < λ < 1, AC = λ ċ AB. Длина отрезка Таким образом AC + CB = λ ċ AB + (1 – λ) AB = AB. Отсюда на основании аксиомы 1.4 и теоремы 5.5 имеем, что точка C принадлежит отрезку AB. Теорема доказана.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".