Из находим, что H = R ·  tg α. Из Δ SBO находим, что H = r ·  tg β. Значит, R ·  tg α = r ·  tg β. Кроме того, из следует, что откуда и получается доказываемая формула.

Из находим, что а из – Остается заметить, что из следует, что и приравнять полученные выражения для l.

Из треугольников и получаем, что и Но   Приравнивая правые части выражений для CB, получим требуемую формулу.

Из треугольников SBO и найдем m: и Значит Из найдем Подставляя это выражение в предыдущее равенство, придем к доказываемой формуле.

Заметим, что Это позволяет из треугольников и получить выражение для двумя способами:   Отсюда следует, что Несложно доказать, что и тогда из прямоугольного треугольника следует, что Подстановка этого выражения в предыдущее равенство и приводит к доказываемой формуле.

так как SB – апофема боковой грани   поскольку высота пирамиды перпендикулярна любой прямой в основании пирамиды. Значит, в плоскости SBO нашлись две прямые SO и SB, перпендикулярные прямой в плоскости Следовательно, плоскости и SBO перпендикулярны. Так как – линейный угол двугранного угла при боковом ребре пирамиды по построению, то и плоскость перпендикулярна плоскости Значит, прямая пересечения плоскостей и SBO – это прямая KE – перпендикулярна плоскости Имеем: Из Δ KEB по определению находим Далее заметим, что из получается а из   Подстановка двух последних выражений в отношение для синуса угла β, полученное из Δ KEB, приводит нас к доказываемой формуле.