Рассмотрим правильную n-угольную пирамиду. Этот многогранник часто встречается в стереометрических задачах, и поэтому более подробное и тщательное изучение его свойств представляет большой интерес. В этом параграфе мы несколько расширим тот арсенал формул, который нами был получен ранее. Запоминать формулы, которые будут выведены в этом параграфе, нет необходимости. Гораздо важнее понять, как они получаются, и научиться применять аналогичные выводы в конкретных задачах.
Итак, пусть SA1A2 … An – правильная n-угольная пирамида (рис. 8.4.1). Введем следующие обозначения:
α – угол наклона бокового ребра к плоскости основания;
β – двугранный угол при основании;
γ – плоский угол при вершине;
δ – двугранный угол при боковом ребре.
1
Рисунок 8.4.1
Пусть O – центр основания пирамиды, B – середина ребра D – точка пересечения отрезков
и C – точка на боковом ребре
такая, что E – точка пересечения отрезков SB и K – точка пересечения отрезков
и OB. Пусть
Несложно показать, что
Обозначим также через H высоту пирамиды, апофему – через m, боковое ребро – через l, сторону основания – через a, а через r и R – радиусы окружностей, вписанной в основание и описанной около него.
Из
находим, что H = R · tg α. Из Δ SBO находим, что H = r · tg β. Значит, R · tg α = r · tg β. Кроме того, из
следует, что
откуда и получается доказываемая формула.
Заметим, что
Это позволяет из треугольников
и
получить выражение для
двумя способами:
Отсюда следует, что
Несложно доказать, что
и тогда из прямоугольного треугольника
следует, что
Подстановка этого выражения в предыдущее равенство и приводит к доказываемой формуле.
так как SB – апофема боковой грани
поскольку высота пирамиды перпендикулярна любой прямой в основании пирамиды. Значит, в плоскости SBO нашлись две прямые SO и SB, перпендикулярные прямой
в плоскости
Следовательно, плоскости
и SBO перпендикулярны. Так как
– линейный угол двугранного угла при боковом ребре пирамиды по построению, то и плоскость
перпендикулярна плоскости
Значит, прямая пересечения плоскостей
и SBO – это прямая KE – перпендикулярна плоскости
Имеем:
Из Δ KEB по определению находим
Далее заметим, что из
получается
а из
Подстановка двух последних выражений в отношение для синуса угла β, полученное из Δ KEB, приводит нас к доказываемой формуле.