Задачи с решениями

Плоские углы трехгранного угла равняются 60°, 60° и 90°. На ребрах трехгранного угла отложены равные отрезки. Доказать, что плоскость, проходящая через концы отрезков, перпендикулярна грани большего плоского угла.

На рисунке изображен трехгранный угол OABC. Пусть OA = OB = OC = a; D – середина отрезка BC. Треугольники OAC и OAB – правильные, поэтому AB = AC = a; AD – медиана и высота ΔABC, ADBC. Треугольники ABC и OBC равны по третьему признаку равенства треугольников. Поскольку BAC = BOC = 90°, то AD = OD = CD. Теперь понятно, что треугольники OAD и OCD равны. Итак, ADO = 90°, следовательно, прямая AD перпендикулярна плоскости OBC; плоскость ABC перпендикулярна плоскости BOC по признаку перпендикулярности плоскостей.

4 из 14