Задачи с решениями

Изобразим треугольную пирамиду DABC и произведем маркировку рисунка. Согласно условию DA = DC = AC = BC = a, BD = b. Легко найти и ребро AB. Поскольку треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, AB – его гипотенуза, то

Для нахождения величины двугранного угла AC нужно построить его линейный угол. Проведем через точку D плоскость, перпендикулярную прямой AC. Для этого проводим высоту DE в треугольнике DAC. Она же является медианой этого треугольника, поскольку он правильный. AE = CE.

Теперь проводим из точки E перпендикуляр к стороне AC до пересечения в точке F со стороной AB. Плоскость DEF перпендикулярна ребру AC двугранного угла, значит, DEF – линейный угол этого двугранного угла.

Как же найти величину угла DEF? Обычно угол находят из некоторого треугольника. Рассмотрим треугольник DEF. EF – средняя линия ΔABC, поэтому Остается найти DF. Заметим, что DF – медиана ΔABD.

Вынесем треугольник ABD во фронтальную плоскость. Продлим отрезок DF на расстояние FG = DF. Четырехугольник ADBG – параллелограмм, т. к. его диагонали, пересекаясь, делятся пополам. Известно, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Значит, DG² + AB² = 2AD² + 2BD² или 4DF² = 2b²,

Из ΔDEF согласно теореме косинусов получаем

Ответ: