Двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды равен α, а двугранный угол при ее боковом ребре – β. Доказать, что 3 cos2 α + 2 cos β = 1.
Решение
На рисунке изображена правильная треугольная пирамида PABC. Пусть площадь основания пирамиды равна S, площадь боковой грани – S1. Проецируя боковые грани на плоскость основания и используя теорему о площади проекции, имеем S = 3S1 cos α. Проецируя пирамиду на боковую грань PBC пирамиды, имеем: S1 = 2S1 cos β + S cos α.
Решая систему
получаем 3 cos2 α + 2 cos β = 1, что и требовалось доказать.
Задачи с решениями
11 из 19
