Пусть A  a (чертеж 2.1.1). Прямая a и точка A определяют единственную плоскость α. В этой плоскости проведем через точку A прямую b, параллельную прямой a. Если существует еще одна прямая c, параллельная a и проходящая через точку A, то по определению параллельных прямых c и a определяют некоторую плоскость. Эта плоскость содержит прямую a и точку A, то есть совпадает с плоскостью α. Следовательно, в плоскости α через точку A проходят две прямые, параллельные прямой a, что противоречит аксиоме о параллельных прямых в планиметрии.

Пусть a  α, b  α = A, A  a (чертеж 2.1.2). Допустим, что прямые a и b не скрещивающиеся, то есть они пересекаются. Тогда существует плоскость β, которой принадлежат прямые a и b. В этой плоскости β лежат прямая a и точка A. Поскольку прямая a и точка A вне ее определяют единственную плоскость, то β = α. Но b  β и b α, следовательно, равенство β = α невозможно.

Пусть a || b и a  α = A (чертеж 2.1.3). Параллельные прямые a и b определяют некоторую плоскость β. Плоскости α и β имеют общую точку A, а, следовательно, имеют и общую прямую c, проходящую через точку A по аксиоме 1.2. Через точку A можно провести только одну прямую a, параллельную b. Следовательно, c не параллельна b. Прямые b и c не параллельны и лежат в одной плоскости β, следовательно, пересекаются в некоторой точке B. Прямая b имеет с плоскостью α общую точку B и не лежит в плоскости α (иначе по теореме 2.2 a и b были бы скрещивающимися). Следовательно, прямая b пересекает плоскость α. Лемма доказана.

Пусть a || c и b || c (чертеж 2.1.4). Заметим, что прямые a и b по теореме 2.1 не могут пересекаться, то есть если бы у них была одна точка, то через эту точку можно было бы провести единственную прямую, параллельную прямой c, то есть они бы совпадали. Докажем, что прямые a и b лежат в одной плоскости. Пусть A  a. Проведем плоскость γ через прямую b и точку A и докажем, что a  γ. Если a пересекает плоскость γ, то по лемме 2.1 c пересекает плоскость γ, и b пересекает плоскость γ. Мы пришли к противоречию, так как b  γ. Итак, a  γ, b  γ и a и b не имеют общих точек, следовательно a || b.