 |
 |
Для того чтобы начать изучать особенности чертежей пространственных фигур, учащиеся должны хорошо осознать, что существенными геометрическими характеристиками самих этих фигур являются: взаимное расположение вершин, ребер, граней; значения длин ребер и величин углов граней (в каких-либо условных единицах); форма граней и т. п. Поэтому изучение планиметрических понятий и зависимостей на стереометрических моделях в 7, а затем и в 8 классах приводит к тому, что учащиеся без всякой перегрузки хорошо усваивают и многие важнейшие геометрические характеристики этих моделей (и соответствующих пространственных фигур).
Например, наблюдая с учащимися стереометрические модели при изучении темы «Измерение углов» в 7 классе, еще раз подтверждаем известное предложение о том, что углы граней куба и прямоугольного параллелепипеда прямые; прямыми являются также все углы их диагональных сечений. При изучении темы «Многоугольник» убеждаемся в том, что любая грань куба – квадрат, диагональное сечение – прямоугольник, что грани и диагональные сечения прямоугольного параллелепипеда также прямоугольники. Отсюда ясно, какие пары ребер являются параллельными отрезками.
Следующую специальную беседу об изучении чертежей пространственных фигур надо проводить на первом же уроке геометрии в 8 классе. Учитель, рассматривая конкретный пример получения чертежа, убеждает учащихся в том, что его особенности зависят не только от способа проектирования, но и от взаимного расположения данной фигуры, плоскости проектирования и проектирующих лучей. В математике мы предпочитаем такое их расположение, чтобы, например, для куба передняя и задняя его грани изображались бы без изменений, (учащиеся наблюдают чертеж куба, каркасную модель), а любая другая грань (также являющаяся квадратом) изображалась бы в виде параллелограмма с углами 45 и 135° с уменьшением длин одной пары сторон ровно в два раза. (Получили чертеж, который в черчении назовут фронтальной диметрической проекцией.)
Учитель обращает внимание учащихся, что изменения формы и размеров соответствующих граней куба (прямоугольного параллелепипеда) на чертеже не произвольны и не меняются от случая к случаю. Даже при искажении формы граней сохраняются некоторые важные их геометрические свойства: прямая линия имеет своим образом также прямую линию; параллельные отрезки данной фигуры изображаются на чертеже также параллельными отрезками; наконец, отношение длин проекций двух параллельных отрезков сохраняется равным отношению длин проектируемых отрезков.
Эти свойства можно наблюдать на любых конкретных примерах, они являются логическим следствием способа параллельного проектирования, но в общем виде они будут изучаться позднее лишь в 10 классе, на уроках стереометрии. Можно сообщить также, что если мы будем рассматривать способ параллельного проектирования на плоскости, отображая одну прямую на другую, то отношение длин любых отрезков первой прямой будет равно отношению длин проекций этих отрезков на другой прямой. Эта планиметрическая зависимость, соответствующая третьему общему свойству параллельного проектирования, будет доказана уже в курсе геометрии 8 класса в виде так называемой теоремы Фалеса.
Описанную выше беседу удобно провести именно на первом же уроке геометрии в 8 классе, который учителя обычно посвящают повторению курса 7 класса. С повторением пройденного тесно связано и содержание практических заданий, посвященных изучению чертежей пространственных фигур. Следовательно, эту работу также целесообразно провести с восьмиклассниками в начале учебного года на последующих уроках геометрии.
Одна из таких бесед может быть начата с наблюдения чертежа пирамиды и установления того факта, что этот чертеж зачастую совпадает с чертежом плоского четырехугольника с проведенными в нем диагоналями. Лишь в том случае, когда одно из боковых ребер пирамиды заслонено от глаза наблюдателя ее передней гранью, мы по штриховому изображению невидимых линий можем догадаться о том, что это чертеж пространственной фигуры.
Итак, чертеж может «обмануть» не только в отношении формы и размеров реального предмета, но и в отношении того, пересекаются ли в действительности данные отрезки, лежат ли рассматриваемые точки, отрезки на данной плоскости или нет. (В процессе коллективного наблюдения модели учащиеся убеждаются, что это действительно так.)
|
|
 |