Задачи с решениями

Построение. Фактически, по условию известны все три угла треугольника. Выберем произвольный отрезок AB и построим треугольник ΔABC по стороне AB и двум данным углам A и B.

Пусть CD – высота, проведенная из вершины C на сторону AB.

Продлеваем высоту CD и откладываем отрезок CE, равный данной высоте, проведенной из вершины C.

Продлим отрезки CA и CB до лучей CA и CB соответственно. Через точку E проведем прямую, параллельную отрезку AB. Эта прямая пересекает лучи CA и CB в точках A₁ и B₁ соответственно. Треугольник ΔA₁B₁C – искомый.

Доказательство. Углы CAB и CA₁B₁ равны как соответственные при параллельных прямых AB и A₁B₁. Аналогично CBA = CB₁A₁ и CDB = CEB₁. Таким образом, углы CA₁B₁ и CB₁A₁ треугольника ΔA₁B₁C равны заданным по условию. Отрезок CE по построению равен заданному и является высотой треугольника ΔA₁B₁C, так как CDB = CEB₁ и CEB₁ = 90° (CD – высота ΔABC).