Задачи с решениями

Доказать, что высота равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим ее оснований.

Так как в четырехугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны, то a + b = 2c, где a и b – длины оснований трапеции, а c – длина боковой стороны (см. рисунок). Отсюда длина боковой стороны   Далее имеем, что проекция боковой стороны на основание AD равна   Действительно, прямоугольные треугольники ABE и CDF равны по катету (BE = CF) и гипотенузе (AB = CD). Поэтому AE = FD. Кроме того, EBCF – прямоугольник (BC || DA, EB || FC, BEF = 90°), и, следовательно, EF = a. Отсюда имеем данное выражение для АЕ. Далее из прямоугольного треугольника ABE находим по теореме Пифагора BE² = AB² – AE², то есть   или

3 из 6