Задачи с решениями

К двум окружностям радиусов R и r, находящимся в положении внешнего касания, проведены их общие касательные – внутренняя и две внешние. Определить длину отрезка внутренней касательной, заключенного между внешними касательными.

Пусть w₁ (O₁, R) и w₂ (O₂, r) – данные окружности, a и b – внешние общие касательные к окружностям, AB – отрезок общей внутренней касательной, где Aa, Bb (см. рисунок). Пусть C – точка касания окружностей. Тогда по свойству 7.3 C принадлежит отрезку O₁O₂. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из данной точки имеем: AC = AM, AC = AN, где M и N – точки касания соответственно окружностей w₁ и w₂ с прямой a. Тогда AM = AN = AC. Значит, AB = 2AC = MN. Проводим перпендикуляр к радиусу   Заметим, что Из по теореме Пифагора имеем: или откуда Но Задача решена.

2 из 6