Глава 16. Введение в математическую логику
16.2. Отношения между множествами
Пусть во множестве A задано некоторое отношение "○".
Определение 16.4.
Отношение "○" рефлексивно, если для любого элемента a из множества A выполнено a○a (т.е. любой элемент связан отношением ○ с самим собой).
Например: отношение равенства на множестве отрезков рефлексивно, так как любой отрезок равен сам себе.
Определение 16.5.
Отношение ○ симметрично, если из a○b следует b○a для любых элементов a и b множества A. Отношение равенства на множестве отрезков является симметричным, так как если [AB] = [CD], то и [CD] = [AB].
Определение 16.6.
Отношение ○ называется транзитивным, если из того, что a○b и b○c следует, что a○c.
В частности, отношение равенства отрезков рефлексивно, так как если отрезок AB равен отрезку CD, а отрезок CD равен отрезку MN, то отрезок AB равен отрезку MN.
Определение 16.7.
Отношение ○ во множестве A называется отношением эквивалентности, если оно одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Всякое отношение эквивалентности 
во множестве A позволяет специальным образом различать элементы этого множества. Обозначим через C (a) множество всех элементов x из A, таких, что 
Это множество является подмножеством A, которое называется классом эквивалентности a. Если 
то в силу симметричности и транзитивности отношения 
любой элемент x, эквивалентный a, эквивалентен и b. Если же b не эквивалентен a, то C (a) и C (b) не имеют общих элементов, потому что если 
и 
, то в силу симметричности 
и 
, и в силу транзитивности 
что противоречит условию. Таким образом, отношением эквивалентности множество A разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности, при котором каждый элемент A попадает в свой класс.
Как мы видели в приведенных выше примерах, равенство на множестве отрезков является отношением эквивалентности и задает его разбиение на классы эквивалентности. Каждый такой класс содержит отрезки заданной длины.
Например: если две прямые a и b не пересекаются, то можно записать a
b = 
, если же они пересекаются, то по определению их пересечением является общая точка A (ab = A). Пересечением луча a с дополняющим его лучом a' является их общее начало O (aa' = O).
Определение 16.9. Объединением двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначение: A
B, где символ – знак объединения множеств.
Например: объединением луча a с дополняющим его лучом a' является прямая.
Определение 16.10. Разностью двух множеств A и B называется такое множество, в которое входят все те элементы, которые принадлежат A и не принадлежат B. Обозначение: A \ B. Если B – подмножество A, то A \ B называют дополнением к B и обозначают B'.
Например: разностью прямой a и ее луча с началом O является множество точек дополняющего луча a' без начальной точки O.
Введенные операции обладают рядом свойств.
Пусть x (AB)C, отсюда x(AB) и xC, или xA, xB, xC. Отсюда x(BC) и xA, следовательно, xA(BC) и верно (AB)C A(BC). Наоборот, если xA(BC), следует, что xA, xC, xB, откуда x(AB)C и верно A(BC)(AB)C. Отсюда A(BC) = (AB)C (см. рис. 16.2.1 a), b)). Аналогично доказывается равенство множеств A(BC) = (AB)C.
 1
|
| Рисунок 16.2.1
|
|
Пусть xAB, то есть xA и xB, отсюда xA. Пусть теперь xA. Из условия AB следует, что xB, отсюда xAB. Следовательно, AB = A.
Пусть xAB, тогда xA или xB. Но AB, и, следовательно, xB, ABB. Если xB, то по определению xAB и верно включение BAB. Отсюда AB = B (см. рис. 16.2.2).
 2
|
| Рисунок 16.2.2
|
|
Связь операций пересечения и объединения множеств отражает свойство дистрибутивности.
Понятия множества и подмножества используются при определении многих понятий математики и, в частности, при определении геометрической фигуры.
Определим как универсальное множество плоскость. Тогда можно дать следующее определение геометрической фигуры в планиметрии.
Определение 16.11. Геометрической фигурой называется всякое множество точек плоскости.
Таким образом, как сама точка, так и конечное и бесконечное множество точек являются геометрическими фигурами.
Из определения 16.11 непосредственно следует, что объединение и пересечение геометрических фигур есть геометрическая фигура.
Если фигура F1 явлется собственным подмножеством фигуры F2, то говорят также, что F1 – часть фигуры F2. Например, отрезок AB – часть прямой.
Чтобы наглядно отображать множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях. Такие изображения множеств называют диаграммами Эйлера–Венна. Диаграммы Эйлера–Венна делают наглядными различные утверждения, касающиеся множеств. На них универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами. Диаграммы, представленные на рис. 16.2.5 a) – d), иллюстрируют понятия, введенные выше.
 5
|
| Рисунок 16.2.5
|
Диаграммами Эйлера–Венна удобно пользоваться для наглядного изображения между различными понятиями. На рисунке 16.2.5 a) и b) представлены отношения 
и 
– соответственно.
На рисунке 16.2.5 f) представлена диаграммама Эйлера–Венна для иллюстрации утверждения: если 
и 
то 
Рисунок 16.2.5 g) можно рассматривать как иллюстрацию опроверждения утверждения: если 
и 
то 
Смотрите также:
Математика,
Английский язык,
Химия,
Биология,
Физика,
География,
Астрономия.
А также:
библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ
"Облако знаний".
или 
