Пусть во множестве A задано некоторое отношение "○".
Определение 16.4.
Отношение "○"рефлексивно, если для любого элемента a из множества A выполнено a○a (т.е. любой элемент связан отношением ○ с самим собой).
Например: отношение равенства на множестве отрезков рефлексивно, так как любой отрезок равен сам себе.
Определение 16.5.
Отношение ○симметрично, если из a○b следует b○a для любых элементов a и b множества A. Отношение равенства на множестве отрезков является симметричным, так как если [AB] = [CD], то и [CD] = [AB].
Определение 16.6.
Отношение ○ называется транзитивным, если из того, что a○b и b○c следует, что a○c.
В частности, отношение равенства отрезков рефлексивно, так как если отрезок AB равен отрезку CD, а отрезок CD равен отрезку MN, то отрезок AB равен отрезку MN.
Определение 16.7.
Отношение ○ во множестве A называется отношением эквивалентности, если оно одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Всякое отношение эквивалентности во множестве A позволяет специальным образом различать элементы этого множества. Обозначим через C (a) множество всех элементов x из A, таких, что Это множество является подмножеством A, которое называется классом эквивалентности a. Если то в силу симметричности и транзитивности отношения любой элемент x, эквивалентный a, эквивалентен и b. Если же b не эквивалентен a, то C (a) и C (b) не имеют общих элементов, потому что если и , то в силу симметричности и , и в силу транзитивности что противоречит условию. Таким образом, отношением эквивалентности множество A разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности, при котором каждый элемент A попадает в свой класс.
Как мы видели в приведенных выше примерах, равенство на множестве отрезков является отношением эквивалентности и задает его разбиение на классы эквивалентности. Каждый такой класс содержит отрезки заданной длины.
Определение 16.8.
Пересечением множеств A и B называется множество, в которое входят те и только те элементы, которые одновременно принадлежат множествам A и B (общие элементы множеств A и B). Обозначение: AB, где символ – знак пересечения двух множеств. Два множества пересекаются, если AB ≠ , и не пересекаются, если AB = .
Например: если две прямые a и b не пересекаются, то можно записать ab = , если же они пересекаются, то по определению их пересечением является общая точка A (ab = A). Пересечением луча a с дополняющим его лучом a' является их общее начало O (aa' = O).
Определение 16.9.
Объединением двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначение: AB, где символ – знак объединения множеств.
Например: объединением луча a с дополняющим его лучом a' является прямая.
Определение 16.10.
Разностью двух множеств A и B называется такое множество, в которое входят все те элементы, которые принадлежат A и не принадлежат B. Обозначение: A \ B. Если B – подмножество A, то A \ B называют дополнением к B и обозначают B'.
Например: разностью прямой a и ее луча с началом O является множество точек дополняющего луча a' без начальной точки O.
Введенные операции обладают рядом свойств.
Свойство 16.1.
Пересечение и объединение множеств коммутативно (перестановочно): AB = BA; AB = BA.
Эти свойства вытекают из определения. Действительно, пусть xAB, тогда xA и xB, следовательно, xBA. Отсюда (AB)(BA). Аналогично доказывается обратное утверждение (BA)(AB). Отсюда AB = BA.
Пусть xAB, тогда либо xA, либо xB, но тогда xBA и (AB)(BA). Аналогично (BA)(AB). Следовательно, AB = BA.
Свойство 16.2.
Пересечение и объединение множеств ассоциативно: для любых множеств A, B и C имеем
Пусть xAB, то есть xA и xB, отсюда xA. Пусть теперь xA. Из условия AB следует, что xB, отсюда xAB. Следовательно, AB = A.
Пусть xAB, тогда xA или xB. Но AB, и, следовательно, xB, ABB. Если xB, то по определению xAB и верно включение BAB. Отсюда AB = B (см. рис. 16.2.2).
2
Рисунок 16.2.2
Связь операций пересечения и объединения множеств отражает свойство дистрибутивности.
Свойство 16.4.
Для любых множеств A, B и C справедливы равенства: а) A(BC) = (AB)(AC), б) A(BC) = (AB)(AC).
а) Пусть xA(BC). Тогда xA и x(BC)→xA, xB или xC→xAB или xAC→x(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC). Пусть x(AB)(AC). Тогда x(AB) или x(AС)→(xA, xB) или (xA, xC)→xA и xB или xC→xA(BC) и отсюда (AB)(AC)A(BC). Окончательно имеем A(BC) = (AB)(AC) (см. рис. 16.2.3 a), b)).
3
Рисунок 16.2.3
б) Пусть xA(BC). Тогда xA или x(BC)xA или (xB и xC)(xA или xB) и (xA или xC)x(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC). Обратно, пусть x(AB)(AC). Тогда x(AB) и x(AC)(xA или xB) и (xA или xC) или xA или (xB и xC)xA(BC), то есть (AB)(AC)A(BC). Следовательно, A(BC) = (AB)(AC) (см. рис. 16.2.4 a), b)).
4
Рисунок 16.2.4
Понятия множества и подмножества используются при определении многих понятий математики и, в частности, при определении геометрической фигуры.
Определим как универсальное множество плоскость. Тогда можно дать следующее определение геометрической фигуры в планиметрии.
Определение 16.11.
Геометрической фигурой называется всякое множество точек плоскости.
Таким образом, как сама точка, так и конечное и бесконечное множество точек являются геометрическими фигурами.
Из определения 16.11 непосредственно следует, что объединение и пересечение геометрических фигур есть геометрическая фигура.
Если фигура F1 явлется собственным подмножеством фигуры F2, то говорят также, что F1 – часть фигуры F2. Например, отрезок AB – часть прямой.
Чтобы наглядно отображать множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях. Такие изображения множеств называют диаграммами Эйлера–Венна. Диаграммы Эйлера–Венна делают наглядными различные утверждения, касающиеся множеств. На них универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами. Диаграммы, представленные на рис. 16.2.5 a) – d), иллюстрируют понятия, введенные выше.
5
Рисунок 16.2.5
Диаграммами Эйлера–Венна удобно пользоваться для наглядного изображения между различными понятиями. На рисунке 16.2.5 a) и b) представлены отношения
и
– соответственно.
На рисунке 16.2.5 f) представлена диаграммама Эйлера–Венна для иллюстрации утверждения: если
и
то
Рисунок 16.2.5 g) можно рассматривать как иллюстрацию опроверждения утверждения: если
и
то
во множестве 
Это множество является подмножеством 
то в силу симметричности и транзитивности отношения 
любой элемент 
и 
, то в силу симметричности 
и 
, и в силу транзитивности 
что противоречит условию. Таким образом, отношением эквивалентности множество 
B
B
B
и 
– соответственно.
и 
то 
и 
то 
или 
