Глава 16. Введение в математическую логику

16.1. Основные определения теории множеств

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики и служит для описания совокупности предметов или объектов. Эти объекты, или элементы множества, считаются отличимыми друг от друга и от объектов, не входящих в данное множество.

Элементы множества могут находиться в некоторых отношениях как между собой, так и с элементами других множеств. Отношение считается заданным, если для любого элемента (или множества) X и элемента (или множества) Y указано, связаны они этим отношением или нет.

Отношение принадлежности . Тот факт, что объект a является элементом множества A, словесно выражается так: элемент a принадлежит множеству A. Обозначение: aA. Отрицание этого факта выражается другим отношением: элемент a не принадлежит множеству A. Обозначение: aA.

Например: «точка C принадлежит отрезку AB» записывается так: C[AB].

Отношение включения. Говорят, что множество B включено во множество A, если каждый элемент B принадлежит A. Обозначение: BA.

Например: отрезок AB, лежащий на прямой a, включен в прямую a и является таким образом его подмножеством. [AB]a.

Пустое множество считается подмножеством любого множества.

Множества A и  называются несобственными подмножествами множества A. Все остальные подмножества множества A, если они существуют, – собственные подмножества A.

Нередко бывает так, что рассматривают только подмножества одного и того же множества U. Такое множество называют универсальным.

Множество можно задать, перечислив все его элементы. Так, если a, b, c, d – обозначения различных объектов, то множество A этих объектов записывают как A = {a; b; c; d}.

Указанный способ применим только для конечных множеств, да и то при условии, что число элементов невелико. Другой способ задания множеств состоит в следующем: формулируют характеристическое свойство элементов множества, т.е. свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они. Множество, для элементов которого указано характеристическое свойство, в фигурных скобках сначала пишется обозначение элемента, затем проводится вертикальная черта, после которой пишется характеристическое свойство элементов. Например, множество M натуральных чисел, меньших 6, запишется так: