Глава 10. Декартовы координаты

10.8. Эллипс и его свойства

В § 7 было получено уравнение фигуры, которую мы назвали эллипсом:
Перейдем в новую систему координат, перенеся начало системы координат в точку  и повернув оси исходной системы на угол 90°.

В соответствии с формулами преобразования координат выразим старые координаты через новые по формулам:
или
В новой системе координат, которую называют канонической, уравнение эллипса имеет вид
при этом
то есть при k < 1 получим, что a > b > 0. В дальнейшем для удобства будем опускать знак "штрих" и будем вместо x' (y') писать x (y). Таким образом, получим уравнение эллипса в новой системе координат.
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Рассмотрим свойства эллипса.

Точки A, B, C и D называются вершинами эллипса. Отрезок AC называется большой осью эллипса, отрезок BD – малой осью. Числа a и b называют полуосями эллипса. Точки  и  где  называются фокусами эллипса.

Пусть M (x; y) – произвольная точка эллипса. Найдем расстояния от точки M до фокусов эллипса.
Рассмотрим выражение
Здесь мы учли, что координаты (x; y) точки M удовлетворяют уравнению эллипса.

Величину  называют эксцентриситетом эллипса. Очевидно, для эллипса ε < 1. Поскольку  то отсюда следует, что a – εx > 0. Поэтому  

Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

В качестве характеристики формы эллипса удобнее пользоваться эксцентриситетом. Так как
то чем больше ε, тем более сжат эллипс.

При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность.

В § 7 мы определили эллипс как множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки A и данной прямой l есть величина постоянная и равная числу k.

Рассмотрим, какие координаты имеет точка A и какое уравнение – прямая l в канонической системе координат. Для начала отметим, что в силу введенных ранее обозначений
Тогда
Таким образом, данное в условии исходной задачи число, характеризующее величину отношения расстояний от точки эллипса до точки A и прямой l, есть эксцентриситет эллипса.

Координаты точки  при переходе в новую систему будут равны:
То есть точка A в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус  эллипса и поэтому совпадет с ним.

Уравнение прямой в исходной системе координат имело вид  После замены системы координат получим новое уравнение прямой l
Обозначим  и покажем, что  Действительно,
Поскольку для эллипса ε < 1, то

Прямая x = –d называется директрисой, соответствующей фокусу F₁(-c; 0). Наряду с этой директрисой вводят прямую x = d, которая является директрисой, соответствующей фокусу F₂(c; 0).

С учетом свойств симметрии эллипса, свойство, с помощью которого мы определили эллипс, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: отношение расстояния от любой точки эллипса до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид эллипса в канонической системе координат и его директрисы приведены на рис. 10.8.1.

1

Рисунок 10.8.1