Глава 10. Декартовы координаты

10.7. Кривые второго порядка

Изменим формулировку задачи предыдущего параграфа, заменив одну из точек прямой, а именно: найти множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки и данной прямой есть величина постоянная.

Пусть заданы прямая l и точка A, не лежащая на этой прямой, а также положительное число k. Выберем систему координат, поместив ее начало в точку O – середину перпендикуляра AB, опущенного на прямую l. Луч OA при этом примем за положительную полуось Oy (см. рис. 10.7.2)

1

Рисунок 10.7.1

Обозначим расстояние от точки M до прямой l символом   Тогда, если M – некоторая точка искомого множества, то условие запишется в виде

Пусть AB = p. Тогда координаты точки A будут   а прямая l однозначно задается уравнением  Так как  и  то уравнение искомой фигуры можно записать в виде
Это уравнение равносильно
Упростив, получим
Рассмотрим различные случаи.

• Пусть k = 1. Тогда уравнение имеет вид   Известно, что это уравнение параболы. Отсюда получим, что геометрическим местом точек, равноудаленных от данной точки и данной прямой, является парабола (см. рис. 10.7.2).

2

Рисунок 10.7.2

Для дальнейшего анализа преобразуем исходное уравнение, выделив полный квадрат по переменной y:
или

Поделив на выражение, стоящее в правой части, получим

• Если k < 1, введем новые обозначения:    Тогда уравнение запишется в более простой форме
  
• Если k > 1, обозначим как и раньше    и получим уравнение
  

Фигура, полученная в случае k < 1, называется эллипсом, а в случае k > 1 – гиперболой. Свойства полученных фигур будут исследованы далее.